Um grupo de pesquisadores deseja verificar as variáveis que podem influenciar o tempo gasto no trânsito em cidades hipotéticas. Suponha que esse grupo levantou as seguintes variáveis independentes:
Tempo (min) (Y)
Distância (km) (
)
Quantidade Semáforos (
)
15
8
0
20
6
1
20
15
0
40
20
1
50
25
2
25
11
1
10
5
0
55
32
3
35
28
1
30
20
1
a) Proponha uma regressão linear múltipla usando as variáveis independentes para prever o tempo gasto no trânsito como a variável dependente.
b) Ao nível de
de confiança: a regressão é significativa? Quais preditores são significativos?
c) Interpretar os coeficientes encontrados na regressão, analisando a influência de cada variável independente no tempo gasto no trânsito.
d) Fazer a análise residual do modelo.
e) Estude a multicolinearidade (Tolerance e VIF) para cada preditora do modelo.
f) Avaliar a qualidade do ajuste do modelo por meio do coeficiente de determinação (
),
ajustado e distância de Cook.
g) Fazer a análise residual do modelo.
h) Verificar as possibilidades de melhores conjuntos de regressão.
Tempo (min) (Y) | Distância (km) (
|
Quantidade Semáforos (
|
15 | 8 | 0 |
20 | 6 | 1 |
20 | 15 | 0 |
40 | 20 | 1 |
50 | 25 | 2 |
25 | 11 | 1 |
10 | 5 | 0 |
55 | 32 | 3 |
35 | 28 | 1 |
30 | 20 | 1 |
b) Ao nível de
c) Interpretar os coeficientes encontrados na regressão, analisando a influência de cada variável independente no tempo gasto no trânsito.
d) Fazer a análise residual do modelo.
e) Estude a multicolinearidade (Tolerance e VIF) para cada preditora do modelo.
f) Avaliar a qualidade do ajuste do modelo por meio do coeficiente de determinação (
g) Fazer a análise residual do modelo.
h) Verificar as possibilidades de melhores conjuntos de regressão.
Passo 1
O enunciado pede uma regressão linear múltipla para modelar o tempo gasto no trânsito (
) em função da distância (
) e da quantidade de semáforos (
). Vamos usar o método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) para estimar
avaliar a significância global (teste
) e parcial (teste
) a 95 % de confiança, interpretar os coeficientes, fazer análise residual, estudar multicolinearidade (tolerance e VIF), calcular
,
e distância de Cook e, por fim, comparar subsets de regressão.
Passo 2
Calculemos as somas necessárias (com
,
,
,
) e as variâncias e covariâncias centradas:
As estimativas de MQO são
Logo, o modelo ajustado é
Passo 3
Do ajuste obtivemos
Teste global
. Com
, rejeitamos
: a regressão é globalmente significativa.
Os erros-padrão dos coeficientes são
Os erros-padrão dos coeficientes são
onde
.
Os testes são
Os testes
ambos com
>2{,}365) para 7 g.l., logo
e
são significativos a 95 %.
Passo 4
Interpretação dos coeficientes:
– significa que, mantendo o número de semáforos constante, cada quilômetro adicional aumenta o tempo em cerca de 0,797 minutos.
– indica que, para cada semáforo a mais (com distância fixa), o tempo aumenta em cerca de 8,299 minutos.
– O intercepto é o tempo previsto quando
e
(situação hipotética).
–
–
– O intercepto
Passo 5
Análise residual:
– O desvio padrão dos resíduos é .
– Gráfico QQ indica resíduos aproximadamente normais.
– Gráfico de resíduos versus valores ajustados não mostra padrão sistemático (homoscedasticidade razoável).
– Não há resíduos studentizados com valor absoluto acima de 2, nem pontos com alavancagem muito alta ( ).
– O desvio padrão dos resíduos é
– Gráfico QQ indica resíduos aproximadamente normais.
– Gráfico de resíduos versus valores ajustados não mostra padrão sistemático (homoscedasticidade razoável).
– Não há resíduos studentizados com valor absoluto acima de 2, nem pontos com alavancagem muito alta (
Passo 6
Multicolinearidade: a correlação entre
e
é
Tolerância de cada preditor:
(>0,1).
VIF (<10).
Logo, multicolinearidade não é grave.
VIF
Logo, multicolinearidade não é grave.
Passo 7
Qualidade do ajuste:
As distâncias de Cook calculadas estão todas abaixo de 1, sem pontos influentes fortes.
Passo 8
Comparando subsets:
– Usando só :
.
– Usando só :
.
– Usando ambos: .
O modelo com ambos e
é o melhor conjunto.
– Usando só
– Usando só
– Usando ambos:
O modelo com ambos
Resposta
a)
b) A 95 %, o teste (p<0,05) rejeita
: o modelo é significativo. Ambos
e
têm
-value >2,365, logo são preditores significativos.
c) Cada quilômetro adiciona em média 0,797 min; cada semáforo adiciona em média 8,299 min; o intercepto 8,152 min é o valor hipotético em .
d) Os resíduos têm desvio padrão ~4,226, distribuem-se aproximadamente normal e não exibem heteroscedasticidade nem outliers evidentes.
e) Tolerance ≈0,429 e VIF ≈2,33 para e
: multicolinearidade desprezível.
f) ,
; todas as distâncias de Cook <1, sem observações influentes fortes.
g) Repetindo, a análise residual confirma normalidade e homoscedasticidade sem pontos atípicos.
h) O melhor conjunto é o modelo múltiplo com e
; entre modelos univariados,
isola ligeiramente melhor que
, mas ambos juntos são superiores.
b) A 95 %, o teste
c) Cada quilômetro adiciona em média 0,797 min; cada semáforo adiciona em média 8,299 min; o intercepto 8,152 min é o valor hipotético em
d) Os resíduos têm desvio padrão ~4,226, distribuem-se aproximadamente normal e não exibem heteroscedasticidade nem outliers evidentes.
e) Tolerance ≈0,429 e VIF ≈2,33 para
f)
g) Repetindo, a análise residual confirma normalidade e homoscedasticidade sem pontos atípicos.
h) O melhor conjunto é o modelo múltiplo com