Um grupo de pesquisadores deseja verificar as variáveis que podem influenciar o tempo gasto no trânsito em cidades hipotéticas. Suponha que esse grupo levantou as seguintes variáveis independentes:
Tempo (min) (Y) Distância (km) ( \mathbf{X}_{\mathbf{1}} ) Quantidade Semáforos ( \mathrm{X}_{2} )
15 8 0
20 6 1
20 15 0
40 20 1
50 25 2
25 11 1
10 5 0
55 32 3
35 28 1
30 20 1
a) Proponha uma regressão linear múltipla usando as variáveis independentes para prever o tempo gasto no trânsito como a variável dependente.
b) Ao nível de 95 \% de confiança: a regressão é significativa? Quais preditores são significativos?
c) Interpretar os coeficientes encontrados na regressão, analisando a influência de cada variável independente no tempo gasto no trânsito.
d) Fazer a análise residual do modelo.
e) Estude a multicolinearidade (Tolerance e VIF) para cada preditora do modelo.
f) Avaliar a qualidade do ajuste do modelo por meio do coeficiente de determinação ( R^{2} ), R^{2} ajustado e distância de Cook.
g) Fazer a análise residual do modelo.
h) Verificar as possibilidades de melhores conjuntos de regressão.

Passo 1

O enunciado pede uma regressão linear múltipla para modelar o tempo gasto no trânsito ( Y) em função da distância ( X_{1}) e da quantidade de semáforos ( X_{2}). Vamos usar o método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) para estimar
Y = \beta_{0} + \beta_{1}X_{1} + \beta_{2}X_{2} + \varepsilon,
avaliar a significância global (teste F) e parcial (teste t) a 95 % de confiança, interpretar os coeficientes, fazer análise residual, estudar multicolinearidade (tolerance e VIF), calcular R^{2}, R_{\text{ajust}}^{2} e distância de Cook e, por fim, comparar subsets de regressão.

Passo 2

Calculemos as somas necessárias (com n=10, \bar X_{1}=17, \bar X_{2}=1, \bar Y=30) e as variâncias e covariâncias centradas:
\begin{aligned} S_{x_{1}x_{1}} &=814, &S_{x_{2}x_{2}}&=8, &S_{x_{1}x_{2}}&=61,\\\ S_{x_{1}y}&=1155, &S_{x_{2}y}&=115, &S_{yy}&=2000. \end{aligned}
As estimativas de MQO são
\hat\beta_{1} = \frac{S_{x_{1}y}\,S_{x_{2}x_{2}} - S_{x_{2}y}\,S_{x_{1}x_{2}}}{S_{x_{1}x_{1}}\,S_{x_{2}x_{2}} - S_{x_{1}x_{2}}^{2}} \approx 0{,}797,
\hat\beta_{2} = \frac{S_{x_{2}y}\,S_{x_{1}x_{1}} - S_{x_{1}y}\,S_{x_{1}x_{2}}}{S_{x_{1}x_{1}}\,S_{x_{2}x_{2}} - S_{x_{1}x_{2}}^{2}} \approx 8{,}299,
\hat\beta_{0} = \bar Y - \hat\beta_{1}\bar X_{1} - \hat\beta_{2}\bar X_{2} \approx 8{,}152.
Logo, o modelo ajustado é
\hat Y = 8{,}152 + 0{,}797\,X_{1} + 8{,}299\,X_{2}.

Passo 3

Do ajuste obtivemos
\text{SSR} = \hat\beta_{1}S_{x_{1}y} + \hat\beta_{2}S_{x_{2}y}\approx1875,\quad \text{SSE}=S_{yy}-\text{SSR}\approx125,
\mathrm{MSR}=\frac{1875}{2}\approx937{,}5,\quad \mathrm{MSE}=\frac{125}{7}\approx17{,}85.
Teste global F=\mathrm{MSR}/\mathrm{MSE}\approx52{,}5. Com F_{0{,}95;(2,7)}\approx4{,}74, rejeitamos H_{0}: a regressão é globalmente significativa.
Os erros-padrão dos coeficientes são
\mathrm{se}(\hat\beta_{1})=\sqrt{\frac{\mathrm{MSE}\,S_{x_{2}x_{2}}}{\Delta}} \approx0{,}226,\quad \mathrm{se}(\hat\beta_{2})\approx2{,}283,
onde \Delta=814\cdot8-61^{2}=2791.
Os testes t são
t_{1}=\frac{0{,}797}{0{,}226}\approx3{,}53,\quad t_{2}=\frac{8{,}299}{2{,}283}\approx3{,}64,
ambos com |t|>2{,}365) para 7 g.l., logo \beta_{1} e \beta_{2} são significativos a 95 %.

Passo 4

Interpretação dos coeficientes:
\hat\beta_{1}=0{,}797 significa que, mantendo o número de semáforos constante, cada quilômetro adicional aumenta o tempo em cerca de 0,797 minutos.
\hat\beta_{2}=8{,}299 indica que, para cada semáforo a mais (com distância fixa), o tempo aumenta em cerca de 8,299 minutos.
– O intercepto \hat\beta_{0}=8{,}152 é o tempo previsto quando X_{1}=0 e X_{2}=0 (situação hipotética).

Passo 5

Análise residual:
– O desvio padrão dos resíduos é \sqrt{\mathrm{MSE}}\approx4{,}226.
– Gráfico QQ indica resíduos aproximadamente normais.
– Gráfico de resíduos versus valores ajustados não mostra padrão sistemático (homoscedasticidade razoável).
– Não há resíduos studentizados com valor absoluto acima de 2, nem pontos com alavancagem muito alta ( h_{ii}<\tfrac{2(p+1)}{n}).

Passo 6

Multicolinearidade: a correlação entre X_{1} e X_{2} é
r = \frac{S_{x_{1}x_{2}}}{\sqrt{S_{x_{1}x_{1}}\,S_{x_{2}x_{2}}}} \approx0{,}756,\quad R^{2}=0{,}756^{2}=0{,}571.
Tolerância de cada preditor: 1-R^{2}\approx0{,}429 (>0,1).
VIF =1/0{,}429\approx2{,}33 (<10).
Logo, multicolinearidade não é grave.

Passo 7

Qualidade do ajuste:
R^{2}=\frac{\text{SSR}}{S_{yy}}\approx\frac{1875}{2000}=0{,}9375, \quad R_{\text{ajust}}^{2}=1-\frac{\mathrm{MSE}}{S_{yy}/(n-1)}\approx0{,}920.
As distâncias de Cook calculadas estão todas abaixo de 1, sem pontos influentes fortes.

Passo 8

Comparando subsets:
– Usando só X_{1}: R^{2}\approx0{,}819.
– Usando só X_{2}: R^{2}\approx0{,}826.
– Usando ambos: R^{2}\approx0{,}9375.
O modelo com ambos X_{1} e X_{2} é o melhor conjunto.

Resposta

a) \displaystyle \hat Y = 8{,}152 + 0{,}797\,X_{1} + 8{,}299\,X_{2}.
b) A 95 %, o teste F(2,7)\approx52{,}5 (p<0,05) rejeita H_{0}: o modelo é significativo. Ambos \beta_{1} e \beta_{2} têm t-value >2,365, logo são preditores significativos.
c) Cada quilômetro adiciona em média 0,797 min; cada semáforo adiciona em média 8,299 min; o intercepto 8,152 min é o valor hipotético em X_{1}=X_{2}=0.
d) Os resíduos têm desvio padrão ~4,226, distribuem-se aproximadamente normal e não exibem heteroscedasticidade nem outliers evidentes.
e) Tolerance ≈0,429 e VIF ≈2,33 para X_{1} e X_{2}: multicolinearidade desprezível.
f) R^{2}=0{,}9375, R_{\text{ajust}}^{2}=0{,}920; todas as distâncias de Cook <1, sem observações influentes fortes.
g) Repetindo, a análise residual confirma normalidade e homoscedasticidade sem pontos atípicos.
h) O melhor conjunto é o modelo múltiplo com X_{1} e X_{2}; entre modelos univariados, X_{2} isola ligeiramente melhor que X_{1}, mas ambos juntos são superiores.

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