Resolva os seguintes problemas:
Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
Passo 1
O enunciado pede: exprimir
como soma de dois inteiros positivos, tal que o primeiro seja divisível por
e o segundo seja divisível por
.
Informações dadas e objetivos claros:
Informações dadas e objetivos claros:
- Procuramos inteiros positivos
e com . - Além disso,
deve ser múltiplo de e deve ser múltiplo de .
Passo 2
Vamos traduzir as condições em variáveis que facilitem a conta. Se o primeiro é múltiplo de
, escrevemos
para algum inteiro positivo
. Se o segundo é múltiplo de
, escrevemos
para algum inteiro positivo
. Substituindo na soma
obtemos a equação
onde
e
são inteiros positivos. Nosso objetivo agora é encontrar todos os pares inteiros
que satisfaçam essa igualdade e depois transformar em
e
.
Passo 3
Para resolver
usamos congruências (uma forma prática de eliminar uma variável). Isolando
e reduzindo módulo
temos:
Explico: reduzir módulo
significa que subtraímos de
um múltiplo de
até ficar com um resto entre
e
. Como
é múltiplo de
, ele desaparece da congruência, sobrando apenas
congruente a
módulo
.
Passo 4
Calculamos
:
, então
. Assim
Precisamos achar o inverso multiplicativo de
modulo
: buscamos um número
tal que
. Testando,
e
porque
. Logo
é o inverso de
módulo
.
Multiplicando a congruência anterior por
obtemos
Isto significa que todos os inteiros
que solucionam a congruência têm a forma
onde
é um número inteiro (positivo, negativo ou zero). Esta é a solução geral para
na congruência.
Passo 5
Agora expressamos
em função de
. Substituindo
na equação original:
Fazendo as contas passo a passo:
Isolando
:
Dividindo por
obtemos
Passo 6
Temos agora as expressões gerais
com
. Lembrando que queremos
e
ambos positivos, portanto precisamos de
e
.
Impondo
:
Impondo
:
As duas desigualdades só concordam para
.
Passo 7
Tomando
encontramos
Portanto
Fazendo a verificação final:
,
é múltiplo de
e
é múltiplo de
. Não há outra solução com
e
positivos, porque qualquer outro
inteiro viola a positividade de
ou
.