Resolva os seguintes problemas:
Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.

Passo 1

O enunciado pede: exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos, tal que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11.
Informações dadas e objetivos claros:
  • Procuramos inteiros positivos a e b com a+b=100.
  • Além disso, a deve ser múltiplo de 7 e b deve ser múltiplo de 11.

Passo 2

Vamos traduzir as condições em variáveis que facilitem a conta. Se o primeiro é múltiplo de 7, escrevemos a=7x para algum inteiro positivo x. Se o segundo é múltiplo de 11, escrevemos b=11y para algum inteiro positivo y. Substituindo na soma a+b=100 obtemos a equação
7x+11y=100,
onde x e y são inteiros positivos. Nosso objetivo agora é encontrar todos os pares inteiros (x,y) que satisfaçam essa igualdade e depois transformar em a e b.

Passo 3

Para resolver \;7x+11y=100\; usamos congruências (uma forma prática de eliminar uma variável). Isolando 7x e reduzindo módulo 11 temos:
7x \equiv 100 \pmod{11}.
Explico: reduzir módulo 11 significa que subtraímos de 100 um múltiplo de 11 até ficar com um resto entre 0 e 10. Como 11y é múltiplo de 11, ele desaparece da congruência, sobrando apenas 7x congruente a 100 módulo 11.

Passo 4

Calculamos 100\bmod 11: 11\cdot 9=99, então 100\equiv 1\pmod{11}. Assim
7x \equiv 1 \pmod{11}.
Precisamos achar o inverso multiplicativo de 7 modulo 11: buscamos um número k tal que 7k\equiv 1\pmod{11}. Testando, 7\cdot 8=56 e 56\equiv 1\pmod{11} porque 56-5\cdot 11=1. Logo k=8 é o inverso de 7 módulo 11.
Multiplicando a congruência anterior por 8 obtemos
x \equiv 8 \pmod{11}.
Isto significa que todos os inteiros x que solucionam a congruência têm a forma
x=8+11t,
onde t é um número inteiro (positivo, negativo ou zero). Esta é a solução geral para x na congruência.

Passo 5

Agora expressamos y em função de t. Substituindo x=8+11t na equação original:
7(8+11t)+11y=100.
Fazendo as contas passo a passo:
7\cdot 8 + 7\cdot 11t + 11y = 100,
56 + 77t + 11y = 100.
Isolando 11y:
11y = 100 - 56 - 77t = 44 - 77t.
Dividindo por 11 obtemos
y = 4 - 7t.

Passo 6

Temos agora as expressões gerais
x=8+11t,\qquad y=4-7t,
com t\in\mathbb{Z}. Lembrando que queremos a=7x e b=11y ambos positivos, portanto precisamos de x>0 e y>0.
Impondo x>0:
8+11t>0 \implies t>-\tfrac{8}{11} \implies t\ge 0\quad(\text{pois }t\text{ é inteiro}).é
Impondo y>0:
4-7t>0 \implies t<\tfrac{4}{7} \implies t\le 0\quad(\text{pois }t\text{ é inteiro}).é
As duas desigualdades só concordam para t=0.

Passo 7

Tomando t=0 encontramos
x=8,\qquad y=4.
Portanto
a=7x=7\cdot 8=56,\qquad b=11y=11\cdot 4=44.
Fazendo a verificação final: 56+44=100, 56 é múltiplo de 7 e 44 é múltiplo de 11. Não há outra solução com a e b positivos, porque qualquer outro t inteiro viola a positividade de x ou y.

Resposta

56 e 44

Exercícios relacionados