O enunciado pede pra estudar a continuidade da função f definida em partes em x<2, em x=2 e em x>2. O conteúdo é continuidade de funções em pontos de mudança de definição, e vamos precisar usar limites laterais e simplificar expressões algébricas.
Passo 2
Para x<2 temos
f(x)=x^2-4x+4x^2-6x+8 Note que x^2-4x+4=(x-2)^2 e x^2-6x+8=(x-2)(x-4). Para x<2 (onde xneq2) simplificamos:
f(x)=(x-2)^2(x-2)(x-4)=x-2x-4 Essa expressão é contínua em todo ( -infty,2).
Passo 3
Para x>2 temos
f(x)=raizx+2-2x-2 Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizx+2+2, obtemos
f(x)=(x+2)-4(x-2)(raizx+2+2)=x-2(x-2)(raizx+2+2)=1raizx+2+2, o que é contínuo em (2,infty).
Passo 4
Para verificar a continuidade em x=2, calculamos os limites laterais:
limxto2^-f(x)=limxto2^-x-2x-4=0-2=0,
limxto2^+f(x)=limxto2^+1raizx+2+2=12+2=tfrac14
Passo 5
Como limxto2^-f(x)=0 e limxto2^+f(x)=tfrac14, os limites são diferentes. Além disso f(2)=0 coincide só com o limite à esquerda. Logo, há descontinuidade em x=2, pois não existe limxto2f(x).
Resposta
A função é contínua para todo xneq2 e apresenta descontinuidade em x=2.