Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
onde
é o círculo
orientado positivamente;
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
. O conteúdo é Teorema dos Resíduos em análise complexa, e vamos precisar identificar os polos da função e calcular a respectiva resíduo.
Passo 2
A função
tem polos em
(fora de
pois
) e em
de ordem 4 (dentro de
). Logo, apenas o polo em
contribui para a integral.
Passo 3
Para calcular o resíduo em
, usamos a fórmula para polo de ordem 4:
Observe que
Definindo
, temos:
Em ,
Em
Então
Passo 4
Pelo Teorema dos Resíduos,
Resposta
-\tfrac{\pi i}{8}