Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
integralC 1z(z-2)^4 d z onde C é o círculo |z-2|=1 orientado positivamente;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de contorno integralC 1z(z-2)^4,dz onde C é o círculo |z-2|=1. O conteúdo é Teorema dos Resíduos em análise complexa, e vamos precisar identificar os polos da função e calcular a respectiva resíduo.

Passo 2

A função f(z)=1z(z-2)^4 tem polos em z=0 (fora de C pois |0-2|=2>1) e em z=2 de ordem 4 (dentro de C). Logo, apenas o polo em z=2 contribui para a integral.

Passo 3

Para calcular o resíduo em z=2, usamos a fórmula para polo de ordem 4:
Res(f,2)=13!limzto2d^3dz^3l[(z-2)^4f(z)r]
Observe que
(z-2)^4f(z)=(z-2)^4z(z-2)^4=1z
Definindo g(z)=1/z, temos:
g'(z)=-z^-2, g''(z)=2z^-3, g'''(z)=-6z^-4
Em z=2,
g'''(2)=-6cdot2^-4=-616=-38
Então
Res(f,2)=13!l(-tfrac38r)=-38cdot6=-116

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
integralCf(z),dz=2pi i,Res(f,2)=2pi il(-tfrac116r)=-pi i8

Resposta

-\tfrac{\pi i}{8}

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