Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
onde
é o círculo
orientado positivamente;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
orientado positivamente. O conteúdo é Análise Complexa (seriação de Laurent e teorema dos resíduos) e vamos precisar expandir
em série de potências de
para identificar o resíduo em
.
Passo 2
Começamos usando a série de Taylor de
em torno de
, que é
Substituindo
, obtemos a expansão de Laurent desejada:
Passo 3
Para calcular a integral, lembramos que
Isso vem do fato de que o único resíduo não-nulo na série de Laurent é o coeficiente de
.
Passo 4
Na expansão
, o termo com
corresponde a
e tem coeficiente
. Logo o resíduo em
é 1, e pelo teorema dos resíduos a integral vale
Resposta
2\pi i