Guestão 17. Calcule as integrais abaixo:
integralC e^1z d z onde C é o círculo |z|=1 orientado positivamente;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralC e^1/z,dz onde C é o círculo |z|=1 orientado positivamente. O conteúdo é Análise Complexa (seriação de Laurent e teorema dos resíduos) e vamos precisar expandir e^1/z em série de potências de z para identificar o resíduo em z=0.

Passo 2

Começamos usando a série de Taylor de e^w em torno de w=0, que é
e^w=sumn=0^inftyw^nn!
Substituindo w=1/z, obtemos a expansão de Laurent desejada:
e^1/z=sumn=0^infty1n!,z^-n

Passo 3

Para calcular a integral, lembramos que
oint|z|=1z^-n,dz= 2pi i,&se n=1, 0,&caso contrário á
Isso vem do fato de que o único resíduo não-nulo na série de Laurent é o coeficiente de z^-1.

Passo 4

Na expansão e^1/z=sumn=0^infty(1/n!),z^-n, o termo com z^-1 corresponde a n=1 e tem coeficiente 1/1!=1. Logo o resíduo em z=0 é 1, e pelo teorema dos resíduos a integral vale
2pi itimes(resíduo)=2pi itimes1=2pi i í

Resposta

2\pi i

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