Questão 6 - Determine a soluçao da equação diferencial ordinária 2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}} \cdot(2.0 pontos )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
2\,\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{y}{x}\;-\;\frac{x}{y^{2}}.
Para resolver vamos transformar em uma equação linear por meio da substituição
u = y^{3}.

Passo 2

Primeiro isolamos \dfrac{dy}{dx}. Dividindo por 2 em ambos os lados:
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{1}{2}\,\frac{y}{x}\;-\;\frac{1}{2}\,\frac{x}{y^{2}}.

Passo 3

Definindo u=y^{3}, temos
\frac{du}{dx} \;=\;3\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \dfrac{dy}{dx} da equação anterior:
\frac{du}{dx} =3\,y^{2}\Bigl(\frac{1}{2}\,\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\,\frac{x}{y^{2}}\Bigr) =\frac{3\,y^{3}}{2\,x}-\frac{3\,x}{2}.
Como y^{3}=u, ela vira
\frac{du}{dx} =\frac{3}{2\,x}\,u \;-\;\frac{3}{2}\,x.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão de equação linear em u(x):
\frac{du}{dx}-\frac{3}{2\,x}\,u=-\frac{3}{2}\,x.

Passo 5

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(-\int\frac{3}{2\,x}\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(-\frac{3}{2}\ln|x|\Bigr) =|x|^{-\tfrac{3}{2}}.
Multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo fica
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-\tfrac{3}{2}}\,u\bigr)
e o lado direito
-\frac{3}{2}\,x\cdot x^{-\tfrac{3}{2}} =-\frac{3}{2}\,x^{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 6

Integramos em x:
x^{-\tfrac{3}{2}}\,u =\int -\frac{3}{2}\,x^{-\tfrac{1}{2}}\,dx + C =-3\,x^{\tfrac{1}{2}}+C.
Multiplicando por x^{3/2}:
u =y^{3} = -3\,x^{2} + C\,x^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 7

Voltando a y, a solução geral é dada implicitamente por
y^{3} + 3\,x^{2} = C\,x^{\tfrac{3}{2}}
ou explicitamente
y(x)=\bigl(C\,x^{\tfrac{3}{2}}-3\,x^{2}\bigr)^{\!\tfrac{1}{3}},
onde C é a constante de integração.

Resposta

\boxed{y^{3} + 3\,x^{2} = C\,x^{\tfrac{3}{2}}\quad\text{ou}\quad y(x)=\bigl(C\,x^{\tfrac{3}{2}}-3\,x^{2}\bigr)^{\tfrac{1}{3}}\,.}

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