Questão 1 - Determine a solução da equação diferencial ordinária dada: (2.0 pontos)
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
Esse tipo de equação pode ser exata ou tornar-se exata após multiplicarmos por um fator integrante. Para testar exatidão, vamos usar
e
e verificar se
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que torne a equação exata. Observando a presença de
e termos em
, tentamos
.
Multiplicando a EDO por , obtemos
Multiplicando a EDO por
Agora calculamos
Como coincidem, a equação com
é exata.
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
onde
é função apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, impomos
. Calculamos
e igualamos a
Da comparação vem
, logo
é constante.
Resposta
A solução geral implícita da EDO é