Questão 1 - Determine a solução da equação diferencial ordinária dada: (2.0 pontos)
\left(y \ln (y)+e^{-x y}\right) d x+(1 / y+x \ln (y)) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(y\ln(y)+e^{-xy}\bigr)\,dx+\bigl(\tfrac{1}{y}+x\ln(y)\bigr)\,dy=0.
Esse tipo de equação pode ser exata ou tornar-se exata após multiplicarmos por um fator integrante. Para testar exatidão, vamos usar M(x,y)=y\ln(y)+e^{-xy} e N(x,y)=\tfrac{1}{y}+x\ln(y) e verificar se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\ln(y)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}e^{-xy} =\bigl(\ln(y)+1\bigr)-x\,e^{-xy},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{1}{y}+x\ln(y)\Bigr) =\ln(y).
Como \ln(y)+1 - x e^{-xy}\neq \ln(y), a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que torne a equação exata. Observando a presença de e^{-xy} e termos em x\ln(y), tentamos \mu(x,y)=e^{xy}.
Multiplicando a EDO por \mu, obtemos
M^*(x,y) =e^{xy}\bigl(y\ln(y)+e^{-xy}\bigr) =y\ln(y)\,e^{xy}+1,
N^*(x,y) =e^{xy}\Bigl(\tfrac{1}{y}+x\ln(y)\Bigr) =\frac{e^{xy}}{y}+x\ln(y)\,e^{xy}.
Agora calculamos
\frac{\partial M^*}{\partial y} =e^{xy}(\ln(y)+1)+x y\ln(y)\,e^{xy},
\frac{\partial N^*}{\partial x} =e^{xy}+\ln(y)\,e^{xy}+x y\ln(y)\,e^{xy} =e^{xy}(\ln(y)+1)+x y\ln(y)\,e^{xy}.
Como coincidem, a equação com \mu=e^{xy} é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =M^*(x,y)=y\ln(y)\,e^{xy}+1.
Integramos em x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y\ln(y)\,e^{xy}+1\bigr)\,dx =e^{xy}\ln(y)+x+h(y),
onde h(y) é função apenas de y.

Passo 5

Para determinar h(y), impomos \partial\psi/\partial y=N^*(x,y). Calculamos
\frac{\partial\psi}{\partial y} =x e^{xy}\ln(y)+\frac{e^{xy}}{y}+h'(y)
e igualamos a
N^*(x,y)=\frac{e^{xy}}{y}+x\ln(y)\,e^{xy}.
Da comparação vem h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

A solução geral implícita da EDO é
e^{xy}\ln(y)+x=C.

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