Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=zz^4+9 para |z|;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=z/(z^4+9) em torno de z=0, válida para |z|<√3. O conteúdo é desenvolvimento em séries de potências usando a série geométrica, e vamos precisar reescrever o denominador para aplicar 1/(1+u)=Σ(–1)^n u^n.

Passo 2

Observamos que z^4+9 pode ser fatorado como 9(1 + z^4/9). Logo temos:
f(z)=zz^4+9=z9l(1+tfracz^49r)=19,zcdot11+tfracz^49

Passo 3

Para aplicar a série geométrica precisamos que |z^4/9|<1, ou seja |z|<9^{1/4}=√3. Então:
11+tfracz^49=sumn=0^infty(-1)^nl(z^49r)^n

Passo 4

Multiplicando por z/9, obtemos a expansão de f(z):
f(z)=19zsumn=0^infty(-1)^nz^4n9^n=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+19^n+1

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^4n+19^n+1,|z|

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