Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor de f(z)=z/(z^4+9) em torno de z=0, válida para |z|<√3. O conteúdo é desenvolvimento em séries de potências usando a série geométrica, e vamos precisar reescrever o denominador para aplicar 1/(1+u)=Σ(–1)^n u^n.
Passo 2
Observamos que z^4+9 pode ser fatorado como 9(1 + z^4/9). Logo temos:
Passo 3
Para aplicar a série geométrica precisamos que |z^4/9|<1, ou seja |z|<9^{1/4}=√3. Então:
Passo 4
Multiplicando por z/9, obtemos a expansão de f(z):