Guestão 9. Obtenha a expansão em série de Taylor de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=cosh (z) para |z|.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função f(z)=cosh(z) válida para todo z (isto é, |z| ). Vamos usar definição e séries de e^z.

Passo 2

Lembrando que cosh(z) é definido por cosh(z)=tfrace^z+e^-z2. E sabemos que a série de Taylor de e^z em torno de 0 é
e^z=sumn=0^inftyz^nn!

Passo 3

Para e^-z basta trocar z por -z na série de e^z:
e^-z=sumn=0^infty(-z)^nn!=sumn=0^infty(-1)^n,z^nn!

Passo 4

Somando e^z e e^-z e dividindo por 2, termos ímpares se cancelam (porque 1+(-1)^n=0 para n ímpar) e ficamos só com índices pares n=2k:
cosh(z)=12l(sumn=0^inftyz^nn!+sumn=0^infty(-1)^n z^nn!r)=sumk=0^inftyz^2k(2k)!

Resposta

A expansão em série de Taylor de cosh(z) para |z| é
cosh(z)=sumn=0^inftyz^2n(2n)!

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