Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário: A questão pede a expansão em série de Laurent de
válida na região punctured plane
. O tema aqui é a expansão em série de potências de funções exponenciais, mas adaptada ao caso
, gerando termos de potências negativas de
.
Passo 2
Teoria da série de Taylor para a função exponencial: Sabemos que, para qualquer
complexo,
com raio de convergência infinito. Essa expansão é válida para todo
Passo 3
Aplicação ao caso
: Basta substituir
na série de Taylor. Como não há restrição adicional além de
, a série resultante será válida em
. Fazendo a substituição temos
Resposta
A expansão em série de Laurent de
em
é