Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=e^1 / z para 0<|z|;

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: A questão pede a expansão em série de Laurent de f(z)=e^1/z válida na região punctured plane 0<|z|. O tema aqui é a expansão em série de potências de funções exponenciais, mas adaptada ao caso w=1/z, gerando termos de potências negativas de z.

Passo 2

Teoria da série de Taylor para a função exponencial: Sabemos que, para qualquer w complexo,
e^w=sumn=0^inftyw^nn!,
com raio de convergência infinito. Essa expansão é válida para todo w em C.

Passo 3

Aplicação ao caso w=1/z: Basta substituir w=1/z na série de Taylor. Como não há restrição adicional além de zneq0, a série resultante será válida em 0<|z|. Fazendo a substituição temos
e^1/z=sumn=0^infty(1/z)^nn!=sumn=0^infty1n!,z^-n

Resposta

A expansão em série de Laurent de e^1/z em 0<|z| é
e^1/z=sumn=0^infty1n!,z^-n

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