H. 106 Calcular:
lim x +infty(x+4x-3)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftygl(x+4x-3gr)^x
Este é um caso de forma indeterminada 1^infty, e vamos usar o truque de escrever a expressão como exponencial, isto é, tomar logaritmo e depois voltar para a função exponencial.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftygl(x+4x-3gr)^x
Então podemos escrever
L = exp!l(limxto+inftyxlnl(tfracx+4x-3r)r)

Passo 3

Vamos analisar o limite do argumento do exponencial:
E = limxto+inftyxln!l(tfracx+4x-3r)
Note que
ln!l(tfracx+4x-3r) =ln(1+tfrac4x)-ln(1-tfrac3x)

Passo 4

Para x grande, usamos a expansão ln(1+u)approx u quando uto0. Aqui u1=tfrac4x e u2=-tfrac3x, então
ln(1+tfrac4x)approx 4x, ln(1-tfrac3x)approx -3x
Logo
ln!l(tfracx+4x-3r)approx 4x-l(-tfrac3xr)=7x
Multiplicando por x, vem
E = limxto+inftyxcdot7x=7

Passo 5

Como o expoente tende a 7, a expressão original tende a
L = exp(7)=e^7

Resposta

e^7

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