Resolver as seguintes integrais
integral e^2 xe^3 x+4 e^x-5 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral e^2xe^3x+4e^x-5,dx
O conteúdo aqui é mudança de variável exponencial e frações parciais. Vamos usar a substituição
t = e^x, dt = e^x,dx Longrightarrow dx = dtt

Passo 2

Com t=e^x temos e^2x=t^2 e e^3x=t^3. Então
integral e^2xe^3x+4e^x-5,dx = integral t^2t^3+4t-5,dtt = integral tt^3+4t-5,dt

Passo 3

Fatoramos o denominador
t^3+4t-5=(t-1)(t^2+t+5),
logo queremos
integral t(t-1)(t^2+t+5),dt = integrall(At-1+Bt+Ct^2+t+5r),dt
Igualando numeradores obtemos
t = A(t^2+t+5)+(Bt+C)(t-1),
cuja comparação de coeficientes dá
A=17, B=-17, C=57

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de três termos:
integral t(t-1)(t^2+t+5),dt =17integraldtt-1 +integral-tfrac17,t+tfrac57t^2+t+5,dt
No segundo integral note que t^2+t+5 tem derivada 2t+1. Escrevemos
-tfrac17,t+tfrac57 =alpha,(2t+1)+beta,
onde alpha=-tfrac114 e beta=tfrac1114. Assim
integral-tfrac17,t+tfrac57t^2+t+5,dt =-tfrac114integral2t+1t^2+t+5,dt +tfrac1114integraldtt^2+t+5
Fazendo as integrais:
integraldtt-1=lnlvert t-1rvert, integral2t+1t^2+t+5,dt=lnl(t^2+t+5r),
integraldtt^2+t+5 =integraldt(t+tfrac12)^2+(tfracraiz192)^2 =2raiz19arctan!l(2t+1raiz19r)

Passo 5

Somando tudo e voltando a t=e^x, obtemos
integral e^2xe^3x+4e^x-5,dx =17lnlvert e^x-1rvert -114lnl(e^2x+e^x+5r) +117raiz19arctan!l(2e^x+1raiz19r) +C

Resposta

integral e^2xe^3x+4e^x-5,dx =17lnlvert e^x-1rvert -114lnl(e^2x+e^x+5r) +117raiz19arctan!l(2e^x+1raiz19r) +C

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