(2 poatos) Uim termômetro marcando 21^circ C é colocado em um forno pré-aquecido a uma temperatura constante. Através de uma janela na porta do forno, um observador verifica que o termômetro marca 43^circ após meio minuto e 69^circ após 1 minuto. Se a Lei do esfriamento/Aquecimento de Newton é dada pela ED
d Tdt=k(T-Tm)
onde k é uma constante, Tm temperatura ambiente e T é a temperatura, qual é a temperatura do forno?

Passo 1

A questão é sobre um termômetro inicialmente a 21 °C colocado num forno a temperatura constante (que chamamos de Tₘ). A matéria é a Lei do resfriamento/aquecimento de Newton, dada pela ED dTdt=kl(Tm-Tr). Vamos precisar resolver essa ED e usar as leituras de 43 °C em 0,5 min e 69 °C em 1 min para encontrar Tₘ.

Passo 2

A ED é linear de primeira ordem e sua solução geral é
T(t)=Tm+(T0-Tm)e^-kt
Aqui T0=21,^circC é a temperatura inicial do termômetro.

Passo 3

Substituindo os dados de tempo e temperatura, obtemos duas equações:
Para t=0,5 min:
43=Tm+(21-Tm)e^-0,5k
Para t=1 min:
69=Tm+(21-Tm)e^-k

Passo 4

Da primeira equação tiramos
43-Tm=(21-Tm)e^-0,5k
Da segunda:
69-Tm=(21-Tm)e^-k
Dividindo a segunda pela primeira ao quadrado e simplificando, reduzimos tudo a:
(21-Tm)(69-Tm)=(43-Tm)^2
Expandindo e cancelando termos, chega-se a:
-4Tm=400
ou seja
Tm=-100,^circC

Resposta

A temperatura do forno, segundo o modelo e os dados fornecidos, é -100,^circC.

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