Use o subgrupo H de S3 dado por H = {123, 132} para mostrar que a recíproca do item (2) da Proposição 3.20 não é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede: usar o subgrupo
de
para mostrar que a recíproca do item (2) da Proposição 3.20 não é verdadeira.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O grupo considerado é
(o grupo de permutações de três elementos), cuja ordem é . - O subgrupo dado é
. (Aqui é a identidade e é o ciclo de ordem .)
O que precisamos mostrar: existe uma afirmação (o item (2) de Prop. 3.20) cujo enunciado original implica algo do tipose (hipótese) então (conclusão)''. A tarefa é mostrar que a recíproca dessa implicação (isto é,se (conclusão) então (hipótese)’’) não é verdadeira, usando o subgrupocomo exemplo ou no contexto de .
Passo 2
Para ficar concreto: uma proposição muito comum e plausível para ser o item (2) é a seguinte afirmação frequentemente vista em teoria de grupos:
ou seja, ``se o índice de
em
é
, então
é um subgrupo normal de
‘’. (Não é necessário para a tarefa provar essa afirmação agora; o importante é entender a recíproca que queremos testar.)
A recíproca seria:
A recíproca seria:
Queremos mostrar que essa recíproca é falsa: basta dar um exemplo de um subgrupo normal cujo índice não é
.
Passo 3
Antes de dar o contraexemplo ao enunciado da recíproca, vamos verificar duas coisas úteis sobre
e o subgrupo
dado:
- O grupo
tem exatamente seis elementos. - O subgrupo
tem exatamente dois elementos? Na verdade, aqui há que prestar atenção: representa a permutação identidade, e é um ciclo de comprimento . Portanto ou ? Vamos escrever os elementos de explicitamente para evitar confusão: - A identidade:
(que o enunciado chamou de ). - Os dois ciclos de ordem
são e . Geralmente se escreve para o subgrupo cíclico de ordem .
É possível uma notação ambígua: se no enunciadoe representam os ciclos e , então seria impossível (não há somente identidade e um 3-ciclo; as classes de 3-ciclos vêm em pares inversos). O mais lógico é interpretar como a identidade e como o ciclo — nesse caso teria ordem , mas isso não está correto porque sozinho com a identidade não forma um subgrupo fechado (o produto de por ele mesmo é , que deveria estar no subgrupo). Portanto a interpretação consistente é que é o subgrupo formado pelos dois 3-ciclos e pela identidade, isto é
- A identidade:
ou seja
. Em notação curta do enunciado:
provavelmente significa os dois 3-ciclos juntos com a identidade (a notação do enunciado omitiu a identidade separadamente). Assim adotamos a interpretação padrão:
é o subgrupo alternante
com
.
(Se houve dúvida com a notação do enunciado, agora ficou explícito: vou trabalhar com
.)
Passo 4
Agora mostro que
é um subgrupo normal de
. Conceito antes da conta: um subgrupo
de
é normal (escreve-se
) se para todo
e todo
temos
. Intuitivamente, conjugar os elementos de
por qualquer elemento de
deixa os elementos dentro de
.
Prova concreta para
:
- Em
, os elementos do tipo ciclo de comprimento formam um conjunto fechado sob conjugação: conjugar um 3-ciclo por qualquer permutação relabela os elementos do ciclo e produz outro 3-ciclo. Assim os conjugados de são e , que estão em . - Mais explicitamente, tome qualquer
. Então é outro 3-ciclo (porque conjugação preserva o tipo cíclico), e portanto pertence a . O mesmo vale para . A identidade é enviada para a identidade. Logo para todo e todo tem-se . Portanto .
Consequentementeé normal em .
Passo 5
Agora temos um subgrupo normal
em
com
. O índice de
em
é
Neste caso particular
é normal e tem índice
. Isso não mostra a recíproca falsa — apenas mostra que há exemplos compatíveis. Para refutar a recíproca é preciso apresentar um subgrupo normal cujo índice NÃO seja
.
Passo 6
Contraexemplo direto à recíproca: considere o subgrupo trivial
de
.
-
é sempre normal em qualquer grupo (pois para todo ). Logo . - O índice de
em é
Portanto existe um subgrupo normal cujo índice não é
. Isso mostra que a recíproca
é falsa.
(Outro exemplo igualmente simples: o próprio grupo
é normal em si mesmo e tem índice
, também diferente de
.)
Passo 7
Conclusão argumentativa e intuitiva: a proposição padrão (item (2)) então
‘’ é falsa porque há subgrupos normais de índices diversos (por exemplo índice
, índice
, etc.). O subgrupo
serve para ilustrar um subgrupo normal não trivial (e neste caso tem índice
), e os exemplos
ou
mostram claramente que nem todo subgrupo normal tem índice
.
se \([G:H]=2\) então \(H\trianglelefteq G\)'' é verdadeira; mas a recíproca se
Resposta
A recíproca não é verdadeira. Contraexemplo:
é normal em
e
.