Use o subgrupo H de S3 dado por H = {123, 132} para mostrar que a recíproca do item (2) da Proposição 3.20 não é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede: usar o subgrupo H=\{123,132\} de S_3 para mostrar que a recíproca do item (2) da Proposição 3.20 não é verdadeira.
Informações dadas:
  • O grupo considerado é S_3 (o grupo de permutações de três elementos), cuja ordem é |S_3|=6.
  • O subgrupo dado é H=\{123,132\}. (Aqui 123 é a identidade e 132 é o ciclo de ordem 3.)
    O que precisamos mostrar: existe uma afirmação (o item (2) de Prop. 3.20) cujo enunciado original implica algo do tipo se (hipótese) então (conclusão)''. A tarefa é mostrar que a recíproca dessa implicação (isto é, se (conclusão) então (hipótese)’’) não é verdadeira, usando o subgrupo H como exemplo ou no contexto de S_3.

Passo 2

Para ficar concreto: uma proposição muito comum e plausível para ser o item (2) é a seguinte afirmação frequentemente vista em teoria de grupos:
\text{Se }[G:H]=2\text{ então }H\trianglelefteq G,ã
ou seja, ``se o índice de H em G é 2, então H é um subgrupo normal de G‘’. (Não é necessário para a tarefa provar essa afirmação agora; o importante é entender a recíproca que queremos testar.)
A recíproca seria:
\text{Se }H\trianglelefteq G\text{ então }[G:H]=2.ã
Queremos mostrar que essa recíproca é falsa: basta dar um exemplo de um subgrupo normal cujo índice não é 2.

Passo 3

Antes de dar o contraexemplo ao enunciado da recíproca, vamos verificar duas coisas úteis sobre S_3 e o subgrupo H dado:
  • O grupo S_3 tem exatamente seis elementos.
  • O subgrupo H=\{123,132\} tem exatamente dois elementos? Na verdade, aqui há que prestar atenção: 123 representa a permutação identidade, e 132 é um ciclo de comprimento 3. Portanto |H|=2 ou |H|=3? Vamos escrever os elementos de S_3 explicitamente para evitar confusão:
    • A identidade: \mathrm{id} = (1)(2)(3) (que o enunciado chamou de 123).
    • Os dois ciclos de ordem 3 são (1\,2\,3) e (1\,3\,2). Geralmente se escreve \{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\} para o subgrupo cíclico de ordem 3.
      É possível uma notação ambígua: se no enunciado 123 e 132 representam os ciclos (1\,2\,3) e (1\,3\,2), então |H|=2 seria impossível (não há somente identidade e um 3-ciclo; as classes de 3-ciclos vêm em pares inversos). O mais lógico é interpretar 123 como a identidade e 132 como o ciclo (1\,3\,2) — nesse caso H=\{\mathrm{id},(1\,3\,2)\} teria ordem 2, mas isso não está correto porque (1\,3\,2) sozinho com a identidade não forma um subgrupo fechado (o produto de (1\,3\,2) por ele mesmo é (1\,2\,3), que deveria estar no subgrupo). Portanto a interpretação consistente é que H é o subgrupo formado pelos dois 3-ciclos e pela identidade, isto é
H=\{ \mathrm{id},\,(1\,2\,3),\,(1\,3\,2)\},
ou seja |H|=3. Em notação curta do enunciado: H=\{123,132\} provavelmente significa os dois 3-ciclos juntos com a identidade (a notação do enunciado omitiu a identidade separadamente). Assim adotamos a interpretação padrão: H é o subgrupo alternante A_3 com |H|=3.
(Se houve dúvida com a notação do enunciado, agora ficou explícito: vou trabalhar com H=A_3=\{e,(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}.)

Passo 4

Agora mostro que H=A_3 é um subgrupo normal de S_3. Conceito antes da conta: um subgrupo N de G é normal (escreve-se N\trianglelefteq G) se para todo g\in G e todo n\in N temos gng^{-1}\in N. Intuitivamente, conjugar os elementos de N por qualquer elemento de G deixa os elementos dentro de N.
Prova concreta para H:
  • Em S_3, os elementos do tipo ciclo de comprimento 3 formam um conjunto fechado sob conjugação: conjugar um 3-ciclo por qualquer permutação relabela os elementos do ciclo e produz outro 3-ciclo. Assim os conjugados de (1\,2\,3) são (1\,2\,3) e (1\,3\,2), que estão em H.
  • Mais explicitamente, tome qualquer g\in S_3. Então g(1\,2\,3)g^{-1} é outro 3-ciclo (porque conjugação preserva o tipo cíclico), e portanto pertence a \{(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}. O mesmo vale para (1\,3\,2). A identidade é enviada para a identidade. Logo para todo g\in S_3 e todo h\in H tem-se ghg^{-1}\in H. Portanto H\trianglelefteq S_3.
    Consequentemente H é normal em S_3.

Passo 5

Agora temos um subgrupo normal H em S_3 com |H|=3. O índice de H em S_3 é
[S_3:H]=\frac{|S_3|}{|H|}=\frac{6}{3}=2.
Neste caso particular H é normal e tem índice 2. Isso não mostra a recíproca falsa — apenas mostra que há exemplos compatíveis. Para refutar a recíproca é preciso apresentar um subgrupo normal cujo índice NÃO seja 2.

Passo 6

Contraexemplo direto à recíproca: considere o subgrupo trivial K=\{\,\mathrm{id}\,\} de S_3.
  • K é sempre normal em qualquer grupo (pois g\mathrm{id}g^{-1}=\mathrm{id} para todo g). Logo K\trianglelefteq S_3.
  • O índice de K em S_3 é
[S_3:K]=\frac{|S_3|}{|K|}=\frac{6}{1}=6\neq 2.
Portanto existe um subgrupo normal cujo índice não é 2. Isso mostra que a recíproca
\text{Se }H\trianglelefteq G\text{ então }[G:H]=2ã
é falsa.
(Outro exemplo igualmente simples: o próprio grupo S_3 é normal em si mesmo e tem índice 1, também diferente de 2.)

Passo 7

Conclusão argumentativa e intuitiva: a proposição padrão (item (2)) se \([G:H]=2\) então \(H\trianglelefteq G\)'' é verdadeira; mas a recíproca se H\trianglelefteq G então [G:H]=2‘’ é falsa porque há subgrupos normais de índices diversos (por exemplo índice 1, índice 6, etc.). O subgrupo H=A_3=\{\,\mathrm{id},(1\,2\,3),(1\,3\,2)\,\} serve para ilustrar um subgrupo normal não trivial (e neste caso tem índice 2), e os exemplos K=\{e\} ou S_3 mostram claramente que nem todo subgrupo normal tem índice 2.

Resposta

A recíproca não é verdadeira. Contraexemplo: K=\{\mathrm{id}\} é normal em S_3 e [S_3:K]=6\neq2.

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