\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \lim_{x\to +\infty}\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
O conteúdo principal aqui é o cálculo de limite no infinito e a técnica de racionalização usando o conjugado.

Passo 2

Para facilitar a avaliação do limite, multiplicamos a expressão por 1, usando o conjugado do termo \sqrt{x^2+1}. Isto é, escrevemos
x-\sqrt{x^2+1} =\bigl(x-\sqrt{x^2+1}\bigr)\,\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}.

Passo 3

Ao realizar o produto no numerador, obtemos
(x-\sqrt{x^2+1})(x+\sqrt{x^2+1}) = x^2 - (x^2+1) = -1.
Logo a expressão se torna
x-\sqrt{x^2+1} = \frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}.

Passo 4

Quando x\to +\infty, tanto x quanto \sqrt{x^2+1} crescem sem limite, então o denominador x+\sqrt{x^2+1}\to+\infty. Assim
\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}\longrightarrow 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados