são autoestados de um operador Hermitiano
(
é, por exemplo, o Hamiltoniano de um sistema físico arbitrário). Assuma que os estados
formam uma base discreta ortonormal. O operador
é definido por:
a) Calcule o adjunto de
b) Calcule o comutador
c) Prove a relação:
d) Calcule
, o traço do operador
(dica: olhe o complemento
)
e) Seja
um operador, com elementos de matriz
. Prove a relação:
f) Mostre que
b) Calcule o comutador
c) Prove a relação:
e) Seja
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com operadores do tipo U(m,n)=|φₘ〉〈φₙ| em uma base ortonormal de autovetores |φₙ〉 de um operador Hermitiano H. Vamos usar a ortonormalidade 〈φₘ|φₙ〉=δₘₙ, a completude ∑ₖ|φₖ〉〈φₖ|=I e a ação de H sobre os autovetores H|φₙ〉=Eₙ|φₙ〉.
Passo 2
Para encontrar o adjunto, basta usar (|a〉〈b|)†=|b〉〈a|. Assim obtemos U†(m,n)=|φₙ〉〈φₘ|.
Passo 3
Para o comutador [H,U(m,n)] aplicamos em um vetor da base |φ_j〉: H
U|φ_j〉=Eₘδₙj|φₘ〉 e U
H|φ_j〉=E_jδₙj|φₘ〉. Subtraindo, [H,U]|φ_j〉=(Eₘ−Eₙ)δₙj|φₘ〉, logo [H,U(m,n)]=(Eₘ−Eₙ)U(m,n).
U|φ_j〉=Eₘδₙj|φₘ〉 e U
H|φ_j〉=E_jδₙj|φₘ〉. Subtraindo, [H,U]|φ_j〉=(Eₘ−Eₙ)δₙj|φₘ〉, logo [H,U(m,n)]=(Eₘ−Eₙ)U(m,n).
Passo 4
Para o produto U(m,n)U†(p,q) fazemos U(m,n)U†(p,q)=|φₘ〉〈φₙ|φ_q〉〈φ_p|=δ_{nq}|φₘ〉〈φ_p|=δ_{nq}U(m,p).
Passo 5
Para o traço usamos Tr{U(m,n)}=∑ₖ〈φₖ|U(m,n)|φₖ〉=∑ₖ〈φₖ|φₘ〉〈φₙ|φₖ〉=δ_{nm}.
Passo 6
Para expandir A usamos a resolução da identidade à esquerda e à direita: A=I
A
I=∑_{m,n}|φₘ〉〈φₘ|A|φₙ〉〈φₙ|=∑_{m,n}A_{mn}U(m,n).
A
I=∑_{m,n}|φₘ〉〈φₘ|A|φₙ〉〈φₙ|=∑_{m,n}A_{mn}U(m,n).
Passo 7
Para extrair A_{pq} calculamos Tr{A
U†(p,q)}=∑ₖ〈φₖ|A|φ_q〉〈φ_p|φₖ〉=〈φ_p|A|φ_q〉=A_{pq}.
U†(p,q)}=∑ₖ〈φₖ|A|φ_q〉〈φ_p|φₖ〉=〈φ_p|A|φ_q〉=A_{pq}.
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
b)
c)
d)
e)
f)