H são autoestados de um operador Hermitiano H ( U(m, n) é, por exemplo, o Hamiltoniano de um sistema físico arbitrário). Assuma que os estados U(m, n)=|varphimrang<=lang<=varphin| formam uma base discreta ortonormal. O operador U(m, n), U^dag>=r(m, n) é definido por:
[H, U(m, n)]
a) Calcule o adjunto de U(m, n) U^dag>=r(p, q)=de
b) Calcule o comutador TrU(m, n)
c) Prove a relação:
U(m, n)
d) Calcule BI I, o traço do operador A (dica: olhe o complemento A=summ, n Am n U(m, n) )
e) Seja um operador, com elementos de matriz . Prove a relação:
f) Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com operadores do tipo U(m,n)=|φₘ〉〈φₙ| em uma base ortonormal de autovetores |φₙ〉 de um operador Hermitiano H. Vamos usar a ortonormalidade 〈φₘ|φₙ〉=δₘₙ, a completude ∑ₖ|φₖ〉〈φₖ|=I e a ação de H sobre os autovetores H|φₙ〉=Eₙ|φₙ〉.

Passo 2

Para encontrar o adjunto, basta usar (|a〉〈b|)†=|b〉〈a|. Assim obtemos U†(m,n)=|φₙ〉〈φₘ|.

Passo 3

Para o comutador [H,U(m,n)] aplicamos em um vetor da base |φ_j〉: H
U|φ_j〉=Eₘδₙj|φₘ〉 e U
H|φ_j〉=E_jδₙj|φₘ〉. Subtraindo, [H,U]|φ_j〉=(Eₘ−Eₙ)δₙj|φₘ〉, logo [H,U(m,n)]=(Eₘ−Eₙ)U(m,n).

Passo 4

Para o produto U(m,n)U†(p,q) fazemos U(m,n)U†(p,q)=|φₘ〉〈φₙ|φ_q〉〈φ_p|=δ_{nq}|φₘ〉〈φ_p|=δ_{nq}U(m,p).

Passo 5

Para o traço usamos Tr{U(m,n)}=∑ₖ〈φₖ|U(m,n)|φₖ〉=∑ₖ〈φₖ|φₘ〉〈φₙ|φₖ〉=δ_{nm}.

Passo 6

Para expandir A usamos a resolução da identidade à esquerda e à direita: A=I
A
I=∑_{m,n}|φₘ〉〈φₘ|A|φₙ〉〈φₙ|=∑_{m,n}A_{mn}U(m,n).

Passo 7

Para extrair A_{pq} calculamos Tr{A
U†(p,q)}=∑ₖ〈φₖ|A|φ_q〉〈φ_p|φₖ〉=〈φ_p|A|φ_q〉=A_{pq}.

Resposta

a) U^dag>=r(m,n)=|varphinrang<=lang<=varphim|.
b) [H,U(m,n)]=(Em-En)U(m,n).
c) U(m,n)U^dag>=r(p,q)=de.
d) TrU(m,n)=de.
e) A=summ,nAmnU(m,n).
f) Apq=TrA,U^dag>=r(p,q).

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