Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de X e Y e X, Y=X Y+Y X é o anticomutador de X e Y
g) [A,[B, C]]+[C,[A, B]]+[B,[C, A]]=0)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Jacobi para comutadores, ou seja, mostrar que a soma cíclica abaixo se anula. O conteúdo da matéria é manipulação de comutadores, e vamos precisar usar a definição [X,Y]=XY-YX e a associatividade da multiplicação de operadores.

Passo 2

Começamos expandindo [A,[B,C]] pela definição de comutador. Primeiro lembramos que [B,C]=BC-CB, então
[A,[B,C]] = A(BC - CB) - (BC - CB)A = ABC - ACB - BCA + CBA,

Passo 3

Em seguida, expandimos [C,[A,B]]. Sabendo que [A,B]=AB-BA, temos
[C,[A,B]] = C(AB - BA) - (AB - BA)C = CAB - CBA - ABC + BAC,

Passo 4

Agora expandimos [B,[C,A]]. Como [C,A]=CA-AC, obtemos
[B,[C,A]] = B(CA - AC) - (CA - AC)B = BCA - BAC - CAB + ACB

Passo 5

Somando as três expressões expandidas, cada termo de quatro letras aparece exatamente duas vezes com sinais opostos e se cancela. Logo a soma total é zero, o que confirma a identidade de Jacobi.

Resposta

0

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