Prove as seguintes relações: onde:
[X, Y]=X Y-Y X) é o comutador de
e
e
é o anticomutador de
e
g) [A,[B, C]]+[C,[A, B]]+[B,[C, A]]=0)
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de Jacobi para comutadores, ou seja, mostrar que a soma cíclica abaixo se anula. O conteúdo da matéria é manipulação de comutadores, e vamos precisar usar a definição
e a associatividade da multiplicação de operadores.
Passo 2
Começamos expandindo
pela definição de comutador. Primeiro lembramos que
, então
Passo 3
Em seguida, expandimos
. Sabendo que
, temos
Passo 4
Agora expandimos
. Como
, obtemos
Passo 5
Somando as três expressões expandidas, cada termo de quatro letras aparece exatamente duas vezes com sinais opostos e se cancela. Logo a soma total é zero, o que confirma a identidade de Jacobi.
Resposta
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