Se a e h são reais, determine e simplifique f(a), f(-a),-f(a), f(a+h), f(a)+f(h), f(a+h)-f(a)h para cada função abaixo:
f(x)=x^2-x+3

Passo 1

O enunciado pede para a gente, dado f(x)=x^{2}-x+3 com a e h reais, encontrar e simplificar as expressões f(a), f(-a), -f(a), f(a+h), f(a)+f(h) e f(a+h)-f(a)h. Vamos usar avaliação de polinômio e a definição de quociente de diferenças.

Passo 2

Para achar f(a) é só substituir x por a em f(x):
f(a)=a^2-a+3

Passo 3

Para f(-a) substituímos x por -a e lembramos que (-a)^2=a^2:
f(-a)=(-a)^2-(-a)+3=a^2+a+3

Passo 4

O valor -f(a) é simplesmente o oposto de f(a):
-f(a)=-(a^2-a+3)=-a^2+a-3

Passo 5

Agora f(a+h): substituímos x por (a+h) e expandimos:
f(a+h)=(a+h)^2-(a+h)+3=a^2+2ah+h^2-a-h+3

Passo 6

Para f(a)+f(h) somamos as imagens de a e h:
f(a)+f(h)=(a^2-a+3)+(h^2-h+3)=a^2+h^2-a-h+6

Passo 7

Por fim, o quociente de diferenças é
f(a+h)-f(a)h= (a^2+2ah+h^2-a-h+3)-(a^2-a+3)h =2ah+h^2-hh=2a+h-1

Resposta

f(a)=a^{2}-a+3, f(-a)=a^{2}+a+3, -f(a)=-a^{2}+a-3, f(a+h)=a{2}+2ah+h{2}-a-h+3, f(a)+f(h)=a{2}+h{2}-a-h+6, f(a+h)-f(a)h=2a+h-1

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