integral x^2 cdot e^2 x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver a integral integral x^2 cdot e^2 x^3 , dx. Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao derivarmos, simplifique a integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olha só, temos e^2x^3 e também x^2 multiplicando. Se a gente pensar em u = 2x^3, isso pode ajudar. A ideia aqui é escolher um u tal que sua derivada ( du) apareça na integral também.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de u em relação a x:
u = 2x^3 dudx = 6x^2 du = 6x^2 , dx
Agora, observamos que temos x^2 , dx na integral original, que aparece em du. Precisamos isolar x^2 , dx:
x^2 , dx = du6

Passo 4

Substituindo u e x^2 , dx na integral original, ficamos com:
integral x^2 cdot e^2x^3 , dx = integral e^u cdot du6 = 16 integral e^u , du

Passo 5

Agora, a integral de e^u em relação a u é bem conhecida:
integral e^u , du = e^u + C
Então, substituindo de volta:
16 integral e^u , du = 16 e^u + C

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original x, substituindo u = 2x^3:
16 e^u + C = 16 e^2x^3 + C

Resposta

integral x^2 cdot e^2 x^3 , dx = 16 e^2x^3 + C

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