Três rodovias conectam a cidade A com a cidade B. Duas rodovias conectam a cidade B com a cidade C. Durante uma hora de ‘rush’, cada rodovia é bloqueada por um acidente de trânsito com probabilidade 0,2 , independente de outras rodovias.
a) Calcule a probabilidade de que haja pelo menos uma rota aberta de A a C .
b) Como uma nova rodovia, também bloqueada com probabilidade 0,2 independentemente de outras rodovias, mude a probabilidade em (a) se ela for construída

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Existem três rodovias ligando A a B.
    • Existem duas rodovias ligando B a C.
    • Durante a hora de pico, cada rodovia é bloqueada por um acidente com probabilidade \,0,2, independentemente das outras rodovias.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a probabilidade de que exista pelo menos uma rota aberta de A a C.
    • (b) Calcular como essa probabilidade muda se for construída uma nova rodovia (também bloqueada com probabilidade \,0,2, independente das demais). O enunciado não especifica onde a nova rodovia será construída; vou tratar os casos plausíveis separadamente (explico isso adiante).

Passo 2

Ideia e fórmulas fundamentais (aula rápida e prática):
  • Cada estrada tem probabilidade de bloqueio \,0,2. Então a probabilidade de uma estrada estar aberta é \,1-0,2=0,8.
  • Para várias estradas independentes em paralelo (ou seja, várias opções entre os mesmos dois pontos), a probabilidade de que “nenhuma esteja aberta” é o produto das probabilidades de cada uma estar bloqueada (por independência). Se houver n estradas e cada uma tem probabilidade de bloqueio \,0,2, então \text{P(nenhuma aberta)} = 0,2^{n}.Assim a probabilidade de “pelo menos uma aberta” é a complementar: \text{P(pelo menos uma aberta)} = 1 - 0,2^{n}.
  • Para haver uma rota de A a C passando por B é preciso que exista ao menos uma estrada A\!-\!B aberta E ao menos uma estrada B\!-\!C aberta. Como os bloqueios são independentes entre todas as estradas, os eventos “há ao menos uma A\!-\!B aberta” e “há ao menos uma B\!-\!C aberta” são independentes; portanto a probabilidade da existência de rota via B é o produto das probabilidades dessas duas condições.
Vou usar isso passo a passo no cálculo.

Passo 3

Cálculo para (a): probabilidade de haver pelo menos uma estrada aberta em cada trecho.
  • Para o trecho A\!-\!B n=3 estradas, logo \text{P(ao menos uma \(A\!-\!B\) aberta)} = 1 - 0,2^{3}.Calculo explícito: 0,2^{3} = 0,008, \quad\text{portanto}\quad 1 - 0,2^{3} = 1 - 0,008 = 0,992.
  • Para o trecho B\!-\!C n=2 estradas, logo \text{P(ao menos uma \(B\!-\!C\) aberta)} = 1 - 0,2^{2}.Calculo explícito: 0,2^{2} = 0,04, \quad\text{portanto}\quad 1 - 0,2^{2} = 1 - 0,04 = 0,96.
  • Como os grupos são independentes, a probabilidade de existir pelo menos uma rota A\to C (via B) é o produto: \text{P(rota \(A\to C\))} = (1 - 0,2^{3})\cdot(1 - 0,2^{2}).

Passo 4

Avaliação numérica final do item (a):
\text{P(rota \(A\to C\))} = 0,992 \times 0,96 = 0,95232.
Interpretação curta: há cerca de 95,232\% de chance de existir pelo menos uma rota aberta de A a C durante a hora de pico, dadas as hipóteses.

Passo 5

Item (b): sobre a nova rodovia. Observação importante: o enunciado não diz entre quais cidades a nova rodovia seria construída. São interpretações plausíveis:
  • (b1) A nova rodovia liga A a B (ficam 4 estradas A\!-\!B e 2 estradas B\!-\!C).
  • (b2) A nova rodovia liga B a C (ficam 3 estradas B\!-\!C e 3 estradas A\!-\!B).
  • (b3) A nova rodovia liga diretamente A a C (além das duas etapas via B). Esse caso é diferente porque introduz uma rota direta alternativa. Vou calcular os três casos para cobrir as interpretações possíveis.

Passo 6

Cálculos para cada caso do (b):
(b1) Nova rodovia entre A e B (passam a ser 4 estradas A\!-\!B e mantêm-se 2 estradas B\!-\!C):
  • \text{P(ao menos uma \(A\!-\!B aberta)} = 1 - 0,2^{4}.) 0,2^{4} = 0,0016,\quad 1 - 0,2^{4} = 0,9984.
  • \text{P(ao menos uma \(B\!-\!C aberta)} = 0,96) (como antes).
  • Produto: \text{P(rota \(A\to C\))} = 0,9984 \times 0,96 = 0,958464.
(b2) Nova rodovia entre B e C (passam a ser 3 estradas B\!-\!C e mantêm-se 3 estradas A\!-\!B):
  • \text{P(ao menos uma \(B\!-\!C aberta)} = 1 - 0,2^{3} = 0,992.)
  • \text{P(ao menos uma \(A\!-\!B aberta)} = 0,992) (como calculado no item (a)).
  • Produto: \text{P(rota \(A\to C\))} = 0,992 \times 0,992 = 0,984064.
(b3) Nova rodovia direta entre A e C (além das 3 A\!-\!B e 2 B\!-\!C originais). Denotar o evento:
  • D = “rodovia direta A\!-\!C está aberta” com probabilidade 1-0,2=0,8.
  • X = “há ao menos uma A\!-\!B aberta” com probabilidade 0,992.
  • Y = “há ao menos uma B\!-\!C aberta” com probabilidade 0,96.
    A rota A\to C existe se D ocorrer ou (os dois X e Y ocorrerem). Assim
\text{P(rota)} = \text{P}(D \,\cup\, (X\cap Y)).
Usando a fórmula da probabilidade do complementar é rápido encontrar:
  • A falha (nenhuma rota) ocorre somente se D estiver fechada e (ou X falha ou Y falha). Em símbolos: \text{P(nenhuma rota)} = \text{P}(D^c)\cdot\text{P}(X^c \cup Y^c).Porque D é independente de X e Y, e X e Y dependem apenas dos grupos distintos de estradas e são independentes entre si.
  • Calcule X^c e Y^c: \text{P}(X^c)=0,2^{3}=0,008,\qquad \text{P}(Y^c)=0,2^{2}=0,04.
  • União: \text{P}(X^c \cup Y^c) = 0,008 + 0,04 - 0,008\cdot0,04 = 0,048 - 0,00032 = 0,04768.
  • \text{P}(D^c)=0,2. Logo \text{P(nenhuma rota)}=0,2 \times 0,04768 = 0,009536.
  • Assim \text{P(rota)} = 1 - 0,009536 = 0,990464.

Passo 7

Resumo e interpretação rápida (motivação para a prova):
  • Adicionar estradas paralelas no mesmo trecho (mais opções A\!-\!B ou B\!-\!C) aumenta a probabilidade, mas o ganho depende de qual trecho recebe a estrada. No caso numérico, construir mais uma estrada em B\!-\!C (passar de 2 para 3) dá um ganho maior do que em A\!-\!B porque antes o trecho B\!-\!C era o “pior” (maior chance relativa de ficar totalmente bloqueado).
  • Construir uma estrada direta A\!-\!C dá o maior ganho, porque cria uma rota totalmente alternativa que não depende do trecho B.
Força aí — se estiver estudando para a prova, tente refazer os cálculos sem olhar e explique em voz alta cada passo: usar complemento (1 – probabilidade de todos bloqueados) e multiplicar eventos independentes são as ideias-chave aqui.

Resposta

(a) (1-0,2^{3})(1-0,2^{2}) = 0,95232
(b) se a nova rodovia for entre A e B: 0,958464
(b) se a nova rodovia for entre B e C: 0,984064
(b) se a nova rodovia for direta entre A e C: 0,990464

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