Três rodovias conectam a cidade A com a cidade B. Duas rodovias conectam a cidade B com a cidade C. Durante uma hora de ‘rush’, cada rodovia é bloqueada por um acidente de trânsito com probabilidade 0,2 , independente de outras rodovias.
a) Calcule a probabilidade de que haja pelo menos uma rota aberta de A a C .
b) Como uma nova rodovia, também bloqueada com probabilidade 0,2 independentemente de outras rodovias, mude a probabilidade em (a) se ela for construída
a) Calcule a probabilidade de que haja pelo menos uma rota aberta de A a C .
b) Como uma nova rodovia, também bloqueada com probabilidade 0,2 independentemente de outras rodovias, mude a probabilidade em (a) se ela for construída
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Existem três rodovias ligando
a . - Existem duas rodovias ligando
a . - Durante a hora de pico, cada rodovia é bloqueada por um acidente com probabilidade
, independentemente das outras rodovias.
- Existem três rodovias ligando
- Perguntas:
- (a) Calcular a probabilidade de que exista pelo menos uma rota aberta de
a . - (b) Calcular como essa probabilidade muda se for construída uma nova rodovia (também bloqueada com probabilidade
, independente das demais). O enunciado não especifica onde a nova rodovia será construída; vou tratar os casos plausíveis separadamente (explico isso adiante).
- (a) Calcular a probabilidade de que exista pelo menos uma rota aberta de
Passo 2
Ideia e fórmulas fundamentais (aula rápida e prática):
- Cada estrada tem probabilidade de bloqueio
. Então a probabilidade de uma estrada estar aberta é . - Para várias estradas independentes em paralelo (ou seja, várias opções entre os mesmos dois pontos), a probabilidade de que “nenhuma esteja aberta” é o produto das probabilidades de cada uma estar bloqueada (por independência). Se houver
estradas e cada uma tem probabilidade de bloqueio , então Assim a probabilidade de “pelo menos uma aberta” é a complementar: - Para haver uma rota de
a passando por é preciso que exista ao menos uma estrada aberta E ao menos uma estrada aberta. Como os bloqueios são independentes entre todas as estradas, os eventos “há ao menos uma aberta” e “há ao menos uma aberta” são independentes; portanto a probabilidade da existência de rota via é o produto das probabilidades dessas duas condições.
Vou usar isso passo a passo no cálculo.
Passo 3
Cálculo para (a): probabilidade de haver pelo menos uma estrada aberta em cada trecho.
- Para o trecho
há estradas, logo Calculo explícito: - Para o trecho
há estradas, logo Calculo explícito: - Como os grupos são independentes, a probabilidade de existir pelo menos uma rota
(via ) é o produto:
Passo 4
Avaliação numérica final do item (a):
Interpretação curta: há cerca de
de chance de existir pelo menos uma rota aberta de
a
durante a hora de pico, dadas as hipóteses.
Passo 5
Item (b): sobre a nova rodovia. Observação importante: o enunciado não diz entre quais cidades a nova rodovia seria construída. São interpretações plausíveis:
- (b1) A nova rodovia liga
a (ficam 4 estradas e 2 estradas ). - (b2) A nova rodovia liga
a (ficam 3 estradas e 3 estradas ). - (b3) A nova rodovia liga diretamente
a (além das duas etapas via ). Esse caso é diferente porque introduz uma rota direta alternativa. Vou calcular os três casos para cobrir as interpretações possíveis.
Passo 6
Cálculos para cada caso do (b):
(b1) Nova rodovia entre
e
(passam a ser 4 estradas
e mantêm-se 2 estradas
):
-
aberta)} = 1 - 0,2^{4}.)
- aberta)} = 0,96) (como antes).
- Produto:
(b2) Nova rodovia entre
e
(passam a ser 3 estradas
e mantêm-se 3 estradas
):
- aberta)} = 1 - 0,2^{3} = 0,992.)
- aberta)} = 0,992) (como calculado no item (a)).
- Produto:
(b3) Nova rodovia direta entre
e
(além das 3
e 2
originais). Denotar o evento:
-
= “rodovia direta está aberta” com probabilidade . -
= “há ao menos uma aberta” com probabilidade . -
= “há ao menos uma aberta” com probabilidade .
A rotaexiste se ocorrer ou (os dois e ocorrerem). Assim
Usando a fórmula da probabilidade do complementar é rápido encontrar:
- A falha (nenhuma rota) ocorre somente se
estiver fechada e (ou falha ou falha). Em símbolos: Porque é independente de e , e e dependem apenas dos grupos distintos de estradas e são independentes entre si. - Calcule
e : - União:
-
. Logo - Assim
Passo 7
Resumo e interpretação rápida (motivação para a prova):
- Adicionar estradas paralelas no mesmo trecho (mais opções
ou ) aumenta a probabilidade, mas o ganho depende de qual trecho recebe a estrada. No caso numérico, construir mais uma estrada em (passar de 2 para 3) dá um ganho maior do que em porque antes o trecho era o “pior” (maior chance relativa de ficar totalmente bloqueado). - Construir uma estrada direta
dá o maior ganho, porque cria uma rota totalmente alternativa que não depende do trecho .
Força aí — se estiver estudando para a prova, tente refazer os cálculos sem olhar e explique em voz alta cada passo: usar complemento (1 – probabilidade de todos bloqueados) e multiplicar eventos independentes são as ideias-chave aqui.
Resposta
(a)
(b) se a nova rodovia for entre
e
:
(b) se a nova rodovia for entre e
:
(b) se a nova rodovia for direta entre e
:
(b) se a nova rodovia for entre
(b) se a nova rodovia for direta entre