O que há de errado com a seguinte “prova”?
Seja x=y. Então
\begin{aligned} x^{2} & =x \cdot y, \\\ x^{2}-y^{2} & =x \cdot y-y^{2}, \\\ (x+y) \cdot(x-y) & =y \cdot(x-y), \\\ x+y & =y, \\\\ 2 \cdot y & =y, \\\\ 2 & =1 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado parte da hipótese \,x=y\, e apresenta a sequência de igualdades
\begin{aligned} x^{2} &= x\cdot y,\\[4pt] x^{2}-y^{2} &= x\cdot y - y^{2},\\[4pt] (x+y)(x-y) &= y(x-y),\\[4pt] x+y &= y,\\[4pt] 2\cdot y &= y,\\[4pt] 2 &= 1. \end{aligned}
A pergunta implícita é: qual passo dessa “prova” está errado? Listei acima todas as informações que o enunciado dá (peguei a sequência inteira do enunciado).]

Passo 2

Vamos reescrever com calma cada transformação feita até o ponto crítico, só para termos tudo claro:
\begin{aligned} &\text{Começo:}\quad x=y.\\[4pt] &\text{1)}\quad x^{2}=x\cdot y\quad\text{(multiplicar ambos os lados por }x\text{)}.\\[4pt] &\text{2)}\quad x^{2}-y^{2}=x\cdot y-y^{2}\quad\text{(subtrair }y^{2}\text{ de ambos os lados).}\\[4pt] &\text{3)}\quad (x+y)(x-y)=y(x-y)\quad\text{(fatorando os dois lados).}\\[4pt] &\text{4)}\quad x+y=y\quad\text{(a partir de (3) cancelando }(x-y)).\\[4pt] &\text{A partir daqui seguem as simplificações que levam a }2=1. \end{aligned}ççõ]

Passo 3

Examinar a fatoração usada no passo 3:
  • Regra usada 1: a diferença de quadrados factoriza assim:
x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y).
Explicação: multiplicando (x+y)(x-y) x^{2}-xy+xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}.
  • Regra usada 2: fator comum no lado direito:
x\cdot y - y^{2}=y(x-y).
Explicação: fatorando y obtemos y(x - y).
Ambas as fatorações estão corretas para quaisquer x,y.

Passo 4

O passo crucial é passar de
(x+y)(x-y)=y(x-y)
para
x+y=y.
Isto é uma aplicação da regra de cancelamento: se a\cdot c = b\cdot c e c\neq 0, então podemos dividir ambos os lados por c e concluir a=b. Vou explicar essa regra com calma: a operação de "dividir por c" equivale a multiplicar por c^{-1}, o inverso multiplicativo de c. Esse inverso existe somente quando c\neq 0. Portanto a conclusão a=b só é válida se tivermos certeza de que c não é zero.

Passo 5

Retornando ao nosso caso, observe que o enunciado começou com \,x=y. Então
x-y = 0.
Logo o fator que foi “cancelado” é exatamente zero. Ou seja, na identidade
(x+y)(x-y)=y(x-y)
temos c=(x-y)=0. Se c=0, então a igualdade vale como 0=0 e não dá nenhuma informação sobre x+y nem sobre y. Em particular, a regra de cancelar c para obter x+y=y é ilegítima porque implicaria dividir por zero.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para sentir isso: escolha \,x=y=1. Então
(x+y)(x-y)=(1+1)(1-1)=2\cdot 0=0
e
y(x-y)=1\cdot 0=0.
Temos 0=0. Cancelar o fator zero e escrever 2=1 é precisamente o erro de dividir por zero. Portanto a conclusão 2=1 decorre da operação inválida de dividir por (x-y) quando (x-y)=0.

Passo 7

Por que dividir por zero é proibido (ideia curta e intuitiva)? Dividir por c significa multiplicar pelo número que, multiplicado por c, dá 1. Se c=0 não existe nenhum número d tal que 0\cdot d=1. Assim não existe o inverso multiplicativo de zero, e a operação “dividir por zero” é indefinida. Portanto qualquer dedução que exige esse passo é inválida.

Passo 8

Conclusão lógica do diagnóstico: todos os passos até a fatoração estão corretos; o passo errado é o que cancela (x-y) sem verificar que esse fator é diferente de zero. Como a hipótese inicial é \,x=y, temos (x-y)=0 e a cancelamento é proibido. A igualdade final 2=1 é falsa porque a prova comete esse erro de dividir por zero.

Resposta

O erro está em cancelar o fator (x-y) na passagem de (x+y)(x-y)=y(x-y) para x+y=y; como x=y temos x-y=0, e não se pode dividir por zero.

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