O que há de errado com a seguinte “prova”?
Seja
. Então
Passo 1
O enunciado parte da hipótese
e apresenta a sequência de igualdades
A pergunta implícita é: qual passo dessa “prova” está errado? Listei acima todas as informações que o enunciado dá (peguei a sequência inteira do enunciado).]
Passo 2
Vamos reescrever com calma cada transformação feita até o ponto crítico, só para termos tudo claro:
Passo 3
Examinar a fatoração usada no passo 3:
- Regra usada 1: a diferença de quadrados factoriza assim:
Explicação: multiplicando
dá
.
- Regra usada 2: fator comum no lado direito:
Explicação: fatorando
obtemos
.
Ambas as fatorações estão corretas para quaisquer .
Ambas as fatorações estão corretas para quaisquer
Passo 4
O passo crucial é passar de
para
Isto é uma aplicação da regra de cancelamento: se
e
, então podemos dividir ambos os lados por
e concluir
. Vou explicar essa regra com calma: a operação de "dividir por
" equivale a multiplicar por
, o inverso multiplicativo de
. Esse inverso existe somente quando
. Portanto a conclusão
só é válida se tivermos certeza de que
não é zero.
Passo 5
Retornando ao nosso caso, observe que o enunciado começou com
. Então
Logo o fator que foi “cancelado” é exatamente zero. Ou seja, na identidade
temos
. Se
, então a igualdade vale como
e não dá nenhuma informação sobre
nem sobre
. Em particular, a regra de cancelar
para obter
é ilegítima porque implicaria dividir por zero.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para sentir isso: escolha
. Então
e
Temos
. Cancelar o fator zero e escrever
é precisamente o erro de dividir por zero. Portanto a conclusão
decorre da operação inválida de dividir por
quando
.
Passo 7
Por que dividir por zero é proibido (ideia curta e intuitiva)? Dividir por
significa multiplicar pelo número que, multiplicado por
, dá
. Se
não existe nenhum número
tal que
. Assim não existe o inverso multiplicativo de zero, e a operação “dividir por zero” é indefinida. Portanto qualquer dedução que exige esse passo é inválida.
Passo 8
Conclusão lógica do diagnóstico: todos os passos até a fatoração estão corretos; o passo errado é o que cancela
sem verificar que esse fator é diferente de zero. Como a hipótese inicial é
, temos
e a cancelamento é proibido. A igualdade final
é falsa porque a prova comete esse erro de dividir por zero.
Resposta
O erro está em cancelar o fator
na passagem de
para
; como
temos
, e não se pode dividir por zero.