Prove o seguinte:
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot d+b \cdot c}{b \cdot d}, se b, d \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d},
com a condição dada de que b\neq 0 e d\neq 0.
Informações relevantes fornecidas: os números a,b,c,d são quaisquer (podem ser reais, por exemplo) e está explícito que os denominadores b e d são diferentes de zero (isso evita divisão por zero).

Passo 2

Entendendo frações e operações básicas que usaremos.
  • Uma fração \dfrac{x}{y} representa o número obtido ao dividir x por y. Aqui x é o numerador e y é o denominador.
  • Podemos multiplicar numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número diferente de zero sem alterar o valor da fração, porque multiplicar por \dfrac{1}{1} (ou por qualquer forma de 1) não muda o número. Em símbolos: para t\neq0,
\frac{x}{y}=\frac{x}{y}\cdot\frac{t}{t}=\frac{x\cdot t}{y\cdot t}.
Essa propriedade será usada para obter um denominador comum.

Passo 3

Objetivo prático: para somar frações é conveniente primeiro escrevê‑las com o mesmo denominador. Um denominador óbvio comum para \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} é b\cdot d. Para alcançar isso, multiplica‑se cada fração por 1 escrita de forma apropriada:
\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}, \qquad \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}.
Aqui usamos que \dfrac{d}{d}=1 e \dfrac{b}{b}=1 porque b\neq0 e d\neq0.

Passo 4

Calculemos cada produto usando a propriedade de multiplicação de frações (multiplica‑se numeradores e denominadores):
\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}, \qquad \frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{c\cdot b}{d\cdot b}=\frac{b\cdot c}{b\cdot d}.
Observe que ambos têm agora o mesmo denominador b\cdot d.

Passo 5

Com denominadores iguais, a soma de frações é feita somando apenas os numeradores e mantendo o denominador comum. Assim,
\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d + b\cdot c}{b\cdot d}.
Finalmente, como b\neq0 e d\neq0, segue que b\cdot d\neq0, então a fração resultante está bem definida. Isso prova a igualdade desejada.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas útil): tome a=1, b=2, c=3, d=4. Então
\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{1\cdot4+2\cdot3}{2\cdot4}=\frac{4+6}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4},
que confere com a soma direta \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{4}=0{,}5+0{,}75=1{,}25=\tfrac{5}{4}. Vai dar certo pra qualquer a,b,c,d com b,d\neq0. Força — você já entendeu a ideia!

Resposta

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}, se b,d\neq0.

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