Prove o seguinte:
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
com a condição dada de que
e
.
Informações relevantes fornecidas: os números são quaisquer (podem ser reais, por exemplo) e está explícito que os denominadores
e
são diferentes de zero (isso evita divisão por zero).
Informações relevantes fornecidas: os números
Passo 2
Entendendo frações e operações básicas que usaremos.
- Uma fração
representa o número obtido ao dividir por . Aqui é o numerador e é o denominador. - Podemos multiplicar numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número diferente de zero sem alterar o valor da fração, porque multiplicar por
(ou por qualquer forma de ) não muda o número. Em símbolos: para ,
Essa propriedade será usada para obter um denominador comum.
Passo 3
Objetivo prático: para somar frações é conveniente primeiro escrevê‑las com o mesmo denominador. Um denominador óbvio comum para
e
é
. Para alcançar isso, multiplica‑se cada fração por
escrita de forma apropriada:
Aqui usamos que
e
porque
e
.
Passo 4
Calculemos cada produto usando a propriedade de multiplicação de frações (multiplica‑se numeradores e denominadores):
Observe que ambos têm agora o mesmo denominador
.
Passo 5
Com denominadores iguais, a soma de frações é feita somando apenas os numeradores e mantendo o denominador comum. Assim,
Finalmente, como
e
, segue que
, então a fração resultante está bem definida. Isso prova a igualdade desejada.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (opcional, mas útil): tome
,
,
,
. Então
que confere com a soma direta
. Vai dar certo pra qualquer
com
. Força — você já entendeu a ideia!