Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
usando as propriedades
a
discutidas em sala.
Informações fornecidas (resumidas, tomadas das propriedades
–
que foram dadas em sala):
- Existem os elementos
(neutro aditivo) e (neutro multiplicativo). - Cada elemento
tem inverso aditivo denotado por , tal que . - As operações
e são associativas e comutativas quando aplicável. - Vale a distributividade: para quaisquer
, . - Podemos usar também que se
então é o inverso aditivo de , isto é .
Nada mais foi pedido nem dado; a tarefa é apenas demonstrar a igualdade algébrica usando essas propriedades básicas.
Passo 2
Lema útil (vai facilitar as contas): para quaisquer
e
vale
Prova do lema (passo a passo, usando distributividade e a definição de inverso aditivo):
Considere
. Aplicando distributividade em
obtemos
Pelo inverso aditivo,
. Logo
Usando a propriedade de que qualquer coisa multiplicada por
é
(resultado direto das propriedades
–
), temos
Isso mostra que
é o inverso aditivo de
, ou seja
A prova de
é completamente análoga (distribui em
). Portanto o lema está provado.
Passo 3
Começamos a trabalhar a expressão do lado direito
e vamos expandi-la aplicando a distributividade passo a passo.
Primeiro aplique distributividade em relação ao primeiro fator:
Passo 4
Agora distribuímos dentro de cada parcela (novamente usando distributividade):
Passo 5
Reescrevemos cada produto com notação mais conveniente e aplicamos o lema do Passo 2 para transformar produtos com
em negativos de produtos:
-
é por definição. - Pelo lema,
. - Pelo lema,
.
Assim a expressão fica
Passo 6
Use a comutatividade da multiplicação para identificar
. Substituindo isso na expressão do Passo 5 obtemos
Passo 7
Agora agrupamos os termos iguais e usamos a propriedade do inverso aditivo:
. Assim sobra
Como
, concluímos
Passo 8
Portanto, seguimos todas as igualdades justificadas pelas propriedades
–
e mostramos que
Como pequeno check numérico (só para intuição): se
e
então
e
; bate certinho.