Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
x^{2}-y^{2}=(x-y) \cdot(x+y).

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot(x+y) usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala.
Informações fornecidas (resumidas, tomadas das propriedades P1 P9 que foram dadas em sala):
  • Existem os elementos 0 (neutro aditivo) e 1 (neutro multiplicativo).
  • Cada elemento a tem inverso aditivo denotado por -a, tal que a+(-a)=0.
  • As operações + e \cdot são associativas e comutativas quando aplicável.
  • Vale a distributividade: para quaisquer a,b,c, a\cdot(b+c)=a\cdot b + a\cdot c.
  • Podemos usar também que se u+v=0 então v é o inverso aditivo de u, isto é v=-u.
    Nada mais foi pedido nem dado; a tarefa é apenas demonstrar a igualdade algébrica usando essas propriedades básicas.

Passo 2

Lema útil (vai facilitar as contas): para quaisquer a e b vale
a\cdot(-b)=-(a\cdot b) \qquad\text{e}\qquad (-a)\cdot b=-(a\cdot b).
Prova do lema (passo a passo, usando distributividade e a definição de inverso aditivo):
Considere a\cdot(-b) + a\cdot b. Aplicando distributividade em a\cdot((-b)+b) obtemos
a\cdot(-b) + a\cdot b = a\cdot\big((-b)+b\big).
Pelo inverso aditivo, (-b)+b=0. Logo
a\cdot(-b) + a\cdot b = a\cdot 0.
Usando a propriedade de que qualquer coisa multiplicada por 0 é 0 (resultado direto das propriedades P1 P9), temos
a\cdot(-b) + a\cdot b = 0.
Isso mostra que a\cdot(-b) é o inverso aditivo de a\cdot b, ou seja
a\cdot(-b)=-(a\cdot b).
A prova de (-a)\cdot b=-(a\cdot b) é completamente análoga (distribui em (-a)+a). Portanto o lema está provado.

Passo 3

Começamos a trabalhar a expressão do lado direito (x-y)\cdot(x+y) e vamos expandi-la aplicando a distributividade passo a passo.
Primeiro aplique distributividade em relação ao primeiro fator:
(x-y)\cdot(x+y) = x\cdot(x+y) + (-y)\cdot(x+y).

Passo 4

Agora distribuímos dentro de cada parcela (novamente usando distributividade):
x\cdot(x+y) + (-y)\cdot(x+y) = \big(x\cdot x + x\cdot y\big) + \big((-y)\cdot x + (-y)\cdot y\big).

Passo 5

Reescrevemos cada produto com notação mais conveniente e aplicamos o lema do Passo 2 para transformar produtos com -y em negativos de produtos:
  • x\cdot x é x^{2} por definição.
  • Pelo lema, (-y)\cdot x = -(y\cdot x).
  • Pelo lema, (-y)\cdot y = -(y\cdot y) = -y^{2}.
    Assim a expressão fica
x^{2} + x\cdot y + \big(- (y\cdot x)\big) + \big(- y^{2}\big).

Passo 6

Use a comutatividade da multiplicação para identificar y\cdot x = x\cdot y. Substituindo isso na expressão do Passo 5 obtemos
x^{2} + x\cdot y - x\cdot y - y^{2}.

Passo 7

Agora agrupamos os termos iguais e usamos a propriedade do inverso aditivo: x\cdot y - x\cdot y = 0. Assim sobra
x^{2} + 0 - y^{2}.
Como x^{2}+0 = x^{2}, concluímos
x^{2}-y^{2}.

Passo 8

Portanto, seguimos todas as igualdades justificadas pelas propriedades P1 P9 e mostramos que
(x-y)\cdot(x+y)=x^{2}-y^{2}.
Como pequeno check numérico (só para intuição): se x=5 e y=3 então x^{2}-y^{2}=25-9=16 e (x-y)(x+y)=(2)(8)=16; bate certinho.

Resposta

x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot(x+y)

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