Prove o seguinte:
, se
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se provar a igualdade
. - Informações fornecidas:
e . - Observação importante: como
e , o produto também é diferente de zero, então ambas as frações estão bem definidas.
Passo 2
Definição e ideia geral que vou usar (explicação didática).
- Por definição, quando o denominador é não nulo, a fração
significa multiplicado pelo inverso multiplicativo de ; isto é,
- O inverso multiplicativo
é o número que satisfaz . - Propriedades algébricas que usarei sem prova detalhada, mas explicando por que valem: a multiplicação é associativa e comutativa, e o inverso multiplicativo é único. Essas propriedades permitem reescrever produtos e agrupar fatores sem alterar o valor.
Passo 3
Provar a identidade usando inversos multiplicativos (método formal).
Começo reescrevendo as duas frações em termos de multiplicação por inverso:
Agora mostro que
. Para isso, verifico que
é inverso de
:
Como o inverso multiplicativo é único, conclui-se
.
Substituindo isso em
,
Usando associatividade e que
, obtemos
Mas
. Portanto
como queríamos provar.
Passo 4
Prova alternativa, mais elementar, por multiplicação cruzada (ideia prática para prova rápida).
Dada a igualdade que queremos demonstrar, como os denominadores são não nulos podemos multiplicar os dois lados por
(ou simplesmente fazer multiplicação cruzada). Igualdade de frações equivale a:
Usando comutatividade/associatividade da multiplicação chegamos a
que é uma identidade verdadeira. Assim a igualdade de frações é válida.
Passo 5
Comentário intuitivo e exemplo numérico (para fixar).
- Intuitivamente: multiplicar numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número não muda o valor da fração — porque se você escala cima e baixo pelo mesmo fator, a razão permanece igual.
- Exemplo: com
, , :
Funciona como esperado.