Prove o seguinte:
\frac{a}{b}=\frac{a \cdot c}{b \cdot c}, se b, c \neq 0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se provar a igualdade \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}.
  • Informações fornecidas: b\neq 0 e c\neq 0.
  • Observação importante: como b\neq 0 e c\neq 0, o produto b\cdot c também é diferente de zero, então ambas as frações estão bem definidas.

Passo 2

Definição e ideia geral que vou usar (explicação didática).
  • Por definição, quando o denominador é não nulo, a fração \frac{x}{y} significa x multiplicado pelo inverso multiplicativo de y; isto é,
\frac{x}{y}=x\cdot y^{-1},\qquad\text{para }y\neq 0.
  • O inverso multiplicativo y^{-1} é o número que satisfaz y\cdot y^{-1}=1.
  • Propriedades algébricas que usarei sem prova detalhada, mas explicando por que valem: a multiplicação é associativa e comutativa, e o inverso multiplicativo é único. Essas propriedades permitem reescrever produtos e agrupar fatores sem alterar o valor.

Passo 3

Provar a identidade usando inversos multiplicativos (método formal).
Começo reescrevendo as duas frações em termos de multiplicação por inverso:
\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=a\cdot c\cdot (b\cdot c)^{-1}.
Agora mostro que (b\cdot c)^{-1}=c^{-1}\cdot b^{-1}. Para isso, verifico que c^{-1}\cdot b^{-1} é inverso de b\cdot c:
(b\cdot c)\cdot(c^{-1}\cdot b^{-1})=b\cdot (c\cdot c^{-1})\cdot b^{-1}=b\cdot 1\cdot b^{-1}=b\cdot b^{-1}=1.
Como o inverso multiplicativo é único, conclui-se (b\cdot c)^{-1}=c^{-1}\cdot b^{-1}.
Substituindo isso em \frac{a\cdot c}{b\cdot c},
\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=a\cdot c\cdot (b\cdot c)^{-1}=a\cdot c\cdot (c^{-1}\cdot b^{-1}).
Usando associatividade e que c\cdot c^{-1}=1, obtemos
a\cdot c\cdot (c^{-1}\cdot b^{-1})=a\cdot (c\cdot c^{-1})\cdot b^{-1}=a\cdot 1\cdot b^{-1}=a\cdot b^{-1}.
Mas a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b}. Portanto
\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a}{b},
como queríamos provar.

Passo 4

Prova alternativa, mais elementar, por multiplicação cruzada (ideia prática para prova rápida).
Dada a igualdade que queremos demonstrar, como os denominadores são não nulos podemos multiplicar os dois lados por b\cdot (b\cdot c) (ou simplesmente fazer multiplicação cruzada). Igualdade de frações equivale a:
\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c} \quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot c)\cdot b.
Usando comutatividade/associatividade da multiplicação chegamos a
a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c=(a\cdot c)\cdot b,
que é uma identidade verdadeira. Assim a igualdade de frações é válida.

Passo 5

Comentário intuitivo e exemplo numérico (para fixar).
  • Intuitivamente: multiplicar numerador e denominador de uma fração pelo mesmo número não muda o valor da fração — porque se você escala cima e baixo pelo mesmo fator, a razão permanece igual.
  • Exemplo: com a=2, b=3, c=5:
\frac{a}{b}=\frac{2}{3},\qquad \frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.
Funciona como esperado.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}

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