Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
Se
, então
ou
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
e pede para provar que então
ou
.
Informações relevantes que vamos usar (essas são propriedades algébricas elementares, correspondentes a P1–P9 discutidas em sala):
- Definição de quadrado:
. - Podemos somar (ou subtrair) o mesmo número dos dois lados de uma igualdade (uso do inverso aditivo e da identidade aditiva).
- Lei distributiva:
e sua forma reversa para fatoração. - Propriedade do produto nulo (sem divisores de zero): se
então ou . - Existência do oposto: se
então e análogo para implica .
Passo 2
Começo transformando a igualdade em uma forma com zero no segundo membro, subtraindo
de ambos os lados. Usando que somar (ou subtrair) o mesmo elemento de duas quantidades iguais preserva a igualdade, obtemos
Aqui usei que
e
, e que
para qualquer
.
Passo 3
Agora fatoramos a diferença de quadrados. Vou mostrar passo a passo que
Verificação: aplicando a distributiva ao lado direito,
Aplicando novamente a distributiva em cada termo,
Usando a comutatividade do produto (
), temos
Portanto a fatoração está correta e podemos reescrever a igualdade do Passo 2 como
Passo 4
Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, de
segue que
Passo 5
Simplificamos cada caso usando a definição de oposto e a propriedade de cancelamento aditivo:
- Se
, então (somando em ambos os lados ou dizendo que implica ). - Se
, então (por definição de oposto: o oposto de é o número que somado a dá zero).
Passo 6
Concluímos, portanto, que a hipótese
implica que
ou
, que é exatamente o que se queria provar. Como comentário final: o passo crítico foi fatorar a diferença de quadrados e usar a propriedade de que um produto só pode ser zero se algum fator for zero (propriedade típica dos números reais).