Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
Se x^{2}=y^{2}, então x=y ou x=-y.

Passo 1

O enunciado dá que x^{2}=y^{2} e pede para provar que então x=y ou x=-y.
Informações relevantes que vamos usar (essas são propriedades algébricas elementares, correspondentes a P1–P9 discutidas em sala):
  • Definição de quadrado: x^{2}=x\cdot x.
  • Podemos somar (ou subtrair) o mesmo número dos dois lados de uma igualdade (uso do inverso aditivo e da identidade aditiva).
  • Lei distributiva: a(b+c)=ab+ac e sua forma reversa para fatoração.
  • Propriedade do produto nulo (sem divisores de zero): se ab=0 então a=0 ou b=0.
  • Existência do oposto: se a+ b=0 então a=-b e análogo para a-b=0 implica a=b.

Passo 2

Começo transformando a igualdade em uma forma com zero no segundo membro, subtraindo y^{2} de ambos os lados. Usando que somar (ou subtrair) o mesmo elemento de duas quantidades iguais preserva a igualdade, obtemos
x^{2}-y^{2}=0.
Aqui usei que x^{2}=x\cdot x e y^{2}=y\cdot y, e que a-a=0 para qualquer a.

Passo 3

Agora fatoramos a diferença de quadrados. Vou mostrar passo a passo que
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Verificação: aplicando a distributiva ao lado direito,
(x-y)(x+y)=x(x+y)-y(x+y).
Aplicando novamente a distributiva em cada termo,
x(x+y)=x\cdot x + x\cdot y = x^{2}+xy,
y(x+y)=y\cdot x + y\cdot y = yx + y^{2}.
Usando a comutatividade do produto ( yx=xy), temos
x(x+y)-y(x+y)=(x^{2}+xy)-(xy+y^{2})=x^{2}+xy-xy-y^{2}=x^{2}-y^{2}.
Portanto a fatoração está correta e podemos reescrever a igualdade do Passo 2 como
(x-y)(x+y)=0.

Passo 4

Aplicamos a propriedade do produto nulo: se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, de
(x-y)(x+y)=0
segue que
x-y=0 \quad\text{ou}\quad x+y=0.

Passo 5

Simplificamos cada caso usando a definição de oposto e a propriedade de cancelamento aditivo:
  • Se x-y=0, então x=y (somando y em ambos os lados ou dizendo que x-y=0 implica x=y).
  • Se x+y=0, então x=-y (por definição de oposto: o oposto de y é o número que somado a y dá zero).

Passo 6

Concluímos, portanto, que a hipótese x^{2}=y^{2} implica que x=y ou x=-y, que é exatamente o que se queria provar. Como comentário final: o passo crítico foi fatorar a diferença de quadrados e usar a propriedade de que um produto só pode ser zero se algum fator for zero (propriedade típica dos números reais).

Resposta

x=y ou x=-y

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