Refaça o cálculo da velocidade média usando variáveis para as velocidades, para os tempos, para a distância total percorrida, o tempo total gasto, e para a velocidade média final.
Passo 1
O objetivo é reescrever o cálculo da velocidade média usando variáveis, deixando tudo simbólico. Vou listar o que temos (variáveis) e o que cada uma significa:
-
: velocidade no primeiro trecho (unidade por exemplo km/h). -
: velocidade no segundo trecho. -
: tempo gasto no primeiro trecho. -
: tempo gasto no segundo trecho. -
: distância percorrida no primeiro trecho. -
: distância percorrida no segundo trecho. -
: tempo total gasto (vou defini-lo mais abaixo). -
: distância total percorrida (idem). -
: velocidade média ao longo do percurso todo (o que queremos achar).
Também anote as relações básicas que conectam essas variáveis (essas são fórmulas que sempre valem para movimento com velocidade constante em cada trecho):
Não vou resolver numericamente nada aqui — só manipular símbolos.
Passo 2
Definição de velocidade média: é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
Agora expresso
e
com as variáveis que definimos:
Substituindo na definição:
Isso já é uma forma válida, mas ainda podemos escrever
em termos de
ou em termos de
.
Passo 3
Expressando
em termos dos tempos e das velocidades (substituindo
):
Interpretação didática: essa fórmula é uma média ponderada das velocidades
e
, com pesos
e
. Ou seja, quanto mais tempo eu passar a uma dada velocidade, maior a influência dessa velocidade na média final.
Exemplo conceitual rápido: se
(mesmo tempo em cada trecho), então os pesos são iguais e a média ponderada vira a média aritmética:
Isso faz sentido: passando o mesmo tempo em duas velocidades, a velocidade média é a média simples.
Passo 4
Agora escrevo
em termos das distâncias e das velocidades (substituindo
na expressão
):
Essa é a forma prática quando sabemos as distâncias de cada trecho e as velocidades em cada trecho. Observe que o denominador é a soma dos tempos individuais, cada tempo sendo distância dividida por velocidade.
Passo 5
Mostro a simplificação em um caso muito comum: distâncias iguais nos dois trechos,
. Substituo na fórmula do passo anterior:
Fatorando o denominador e simplificando, obtemos a forma clássica (média harmônica entre duas velocidades):
Interpretação: quando os trechos têm a mesma distância, a velocidade média não é a média aritmética, mas a média harmônica — isso ocorre porque os tempos não são iguais: o trecho com velocidade menor toma mais tempo, puxando a média para baixo.
Passo 6
Recapitulando as formas principais e quando usá-las (útil para prova):
- Forma em termos de tempos e velocidades (média ponderada por tempo):
Use quando você sabe os tempos em cada trecho.
- Forma em termos de distâncias e velocidades (razão distância total por soma dos tempos):
Use quando você sabe as distâncias.
- Casos especiais úteis para decorar: