O hamiltoniano de uma partícula de spin 12 sujeita a um campo magnético de intensidade B na direção z é dado por
H=ghbar mu B sigma3, sigma3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
onde mu e o momento magnético e g o fator giromagnético da partícula.
(a) Numa medida da energia deste sistema, quais valores que podemos obter?
(b) Num certo instante, realizou-se a medida do spin da partícula na direção z (sujeita ao campo descrito acima) e obteve-se o valor hbar / 2. Se, num instante t posterior for realizada uma nova medida do spin, mas na direção y, qual a probabilidade de se obter o valor $\hbar / 2.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de spin 1/2 num campo magnético B ao longo de z, com Hamiltoniano
H = ghbar,mu B,sigma3,, sigma3 = 1&00&-1
(a) Queremos os possíveis valores de energia, que vêm dos autovalores de sigma3.
(b) Após medir o spin em z e obter hbar/2, a partícula está em lvert +zrang<=. Em seguida medimos o spin em y; calculamos a probabilidade de dar hbar/2 projetando em lvert +yrang<=.

Passo 2

Para encontrar os possíveis valores de energia, note que
H,lvert pm zrang<= = ghbar,mu B,sigma3,lvert pm zrang<= = ghbar,mu B,(pm1),lvert pm zrang<=,
logo os autovalores de H são
Epm = pm ghbar,mu B

Passo 3

Imediatamente após medir o spin em z e obter hbar/2, o sistema fica no autovetor lvert +zrang<=, que de fato é autovetor de hat H com energia E+. A evolução unitar ária só acrescenta uma fase global
lvert psi(t)rang<= = e^-iE+ t/hbar,lvert +zrang<=,
o que não modifica probabilidades de medida.

Passo 4

O autovetor de spin em y com valor +hbar/2 pode ser escrito em base z como
lvert +yrang<= = 1raiz2l(lvert +zrang<= + i,lvert -zrang<=r)
Assim a amplitude para ir de lvert +zrang<= a lvert +yrang<= é
lang<= +yvert +zrang<= = 1raiz2,
e a probabilidade é
l|lang<= +yvert +zrang<=r|^2 = 12

Resposta

(a) Epm=pm ghbar,mu B.
(b) tfrac12.

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