Uma partícula A é descrita por uma função de onda \psi(x, y, z). Uma partícula B é descrita por uma função de onda \psi(x, y, z) \exp (i \varphi), onde \varphi é uma constante real. Como se compara a probabilidade de encontrar a partícula A em torno de um certo ponto no espaço no interior de um volume d V com a probabilidade de encontrar a partícula B dentro do mesmo volume?

Passo 1

O enunciado dá duas funções de onda e pede para comparar as probabilidades de encontrar as partículas A e B no mesmo volume pequeno dV ao redor de um ponto (x,y,z). Informações importantes fornecidas:
  • A função de onda da partícula A é \psi(x,y,z).
  • A função de onda da partícula B é \psi(x,y,z)\,e^{i\varphi}, onde \varphi é uma constante real.
  • A pergunta: como se comparam as probabilidades de encontrar A e B dentro do mesmo volume dV?

Passo 2

O que significa "probabilidade de encontrar a partícula no interior de dV"?
  • Em mecânica quântica, a densidade de probabilidade em uma posição (x,y,z) é |\psi(x,y,z)|^2.
  • Portanto a probabilidade de encontrar a partícula dentro do volume infinitesimal dV é \;P=\;|\psi(x,y,z)|^2\,dV.
    Aqui \psi(x,y,z) é (em geral) um número complexo; |\psi|^2 significa o quadrado do módulo de \psi (o mesmo que \psi^*\psi, onde \psi^* é o conjugado complexo).

Passo 3

Escrevendo as probabilidades para A e B:
  • Para A: \;P_A = |\psi(x,y,z)|^2\,dV.
  • Para B: \;P_B = |\psi(x,y,z)\,e^{i\varphi}|^2\,dV.

Passo 4

Propriedade útil de números complexos: o módulo do produto é o produto dos módulos, isto é |zw|=|z|\,|w|.
Aplicando isso a \psi e e^{i\varphi} obtemos
|\psi(x,y,z)\,e^{i\varphi}| = |\psi(x,y,z)|\,|e^{i\varphi}|.
Além disso, pela fórmula de Euler e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi, o módulo de e^{i\varphi} é
|e^{i\varphi}|=\sqrt{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi}=1.

Passo 5

Usando as identidades do passo anterior temos
|\psi(x,y,z)\,e^{i\varphi}|^2 = \big(|\psi(x,y,z)|\,|e^{i\varphi}|\big)^2 = |\psi(x,y,z)|^2\cdot 1^2 = |\psi(x,y,z)|^2.
Portanto
P_B = |\psi(x,y,z)\,e^{i\varphi}|^2\,dV = |\psi(x,y,z)|^2\,dV = P_A.

Passo 6

Interpretação física curta e motivadora: multiplicar a função de onda por uma fase global e^{i\varphi} apenas “rotaciona” o número complexo \psi no plano complexo, sem alterar seu módulo. Como a probabilidade depende só do módulo ao quadrado, a probabilidade de encontrar a partícula é inalterada. (Obs.: fases relativas entre componentes de uma superposição sí importam para interferência, mas uma fase global constante não altera probabilidades locais.)

Resposta

P_A = |\psi(x,y,z)|^2\,dV
P_B = |\psi(x,y,z)|^2\,dV

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