Uma partícula A é descrita por uma função de onda
. Uma partícula B é descrita por uma função de onda
, onde
é uma constante real. Como se compara a probabilidade de encontrar a partícula A em torno de um certo ponto no espaço no interior de um volume
com a probabilidade de encontrar a partícula B dentro do mesmo volume?
Passo 1
O enunciado dá duas funções de onda e pede para comparar as probabilidades de encontrar as partículas A e B no mesmo volume pequeno
ao redor de um ponto
. Informações importantes fornecidas:
- A função de onda da partícula A é
. - A função de onda da partícula B é
, onde é uma constante real. - A pergunta: como se comparam as probabilidades de encontrar A e B dentro do mesmo volume
?
Passo 2
O que significa "probabilidade de encontrar a partícula no interior de
"?
- Em mecânica quântica, a densidade de probabilidade em uma posição
é . - Portanto a probabilidade de encontrar a partícula dentro do volume infinitesimal
é .
Aquié (em geral) um número complexo; significa o quadrado do módulo de (o mesmo que , onde é o conjugado complexo).
Passo 3
Escrevendo as probabilidades para A e B:
- Para A:
. - Para B:
.
Passo 4
Propriedade útil de números complexos: o módulo do produto é o produto dos módulos, isto é
.
Aplicando isso a e
obtemos
Aplicando isso a
Além disso, pela fórmula de Euler
, o módulo de
é
Passo 5
Usando as identidades do passo anterior temos
Portanto
Passo 6
Interpretação física curta e motivadora: multiplicar a função de onda por uma fase global
apenas “rotaciona” o número complexo
no plano complexo, sem alterar seu módulo. Como a probabilidade depende só do módulo ao quadrado, a probabilidade de encontrar a partícula é inalterada. (Obs.: fases relativas entre componentes de uma superposição sí importam para interferência, mas uma fase global constante não altera probabilidades locais.)