Uma haste de cobre de densidade seção uniforme e constante oscila pendurada em uma de suas extremidades, com um período de 1,6 s quando está a temperatura ambiente. Sendo o coeficiente de expansão linear de cobre 19 times 10^-6 ^circ C^-1, determine o aumento de temperatura que deve ser dada ao ambiente para que o período aumente em 3 milésimos de segundos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma haste de cobre que oscila como um pêndulo e queremos descobrir quanto precisamos aquecer o ambiente para que o período dessa oscilação aumente um pouquinho. Os tópicos que vamos usar são expansão térmica linear e período de um pêndulo simples. Precisamos entender como a temperatura afeta o comprimento da haste e como isso, por sua vez, afeta o período de oscilação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período $ T $ de um pêndulo simples é dado por:
T
Aqui, $ L $ é o comprimento do pêndulo e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).

Passo 3

Como a haste está sendo aquecida, ela vai se expandir. A expansão térmica linear é dada por:
De
Onde:
  • $ \Delta L $ é o aumento no comprimento,
  • $ L_0 $ é o comprimento original,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de expansão linear,
  • $ \Delta T_{amb} $ é o aumento de temperatura ambiente que queremos encontrar.

Passo 4

O novo comprimento $ L $ do pêndulo após o aumento de temperatura será:
L

Passo 5

Sabemos que o período desejado é o período original $ T_0 = 1,6 , s $ mais um aumento de $ \Delta T = 0,003 , s $, então:
T0 = 1,6 , s

Passo 6

Vamos relacionar os períodos com os comprimentos usando a fórmula do período do pêndulo:
TT0 = raizLL0 Rightarrow (TT0)^2 = LL0
Substituindo $ L $ da Passo 4:
L

Passo 7

Calculando o lado esquerdo:
(1,6031,6)^2 approx (1,001875)^2 approx 1,00375
Então:
1,00375 = 1 + 19 times 10^-6 cdot De

Passo 8

Isolando $ \Delta T_{amb} $:
De
19 times 10^-6 cdot De

Resposta

O aumento de temperatura necessário é aproximadamente 197,37 °C.

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