Uma haste de cobre de densidade seção uniforme e constante oscila pendurada em uma de suas extremidades, com um período de 1,6 s quando está a temperatura ambiente. Sendo o coeficiente de expansão linear de cobre
, determine o aumento de temperatura que deve ser dada ao ambiente para que o período aumente em 3 milésimos de segundos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma haste de cobre que oscila como um pêndulo e queremos descobrir quanto precisamos aquecer o ambiente para que o período dessa oscilação aumente um pouquinho. Os tópicos que vamos usar são expansão térmica linear e período de um pêndulo simples. Precisamos entender como a temperatura afeta o comprimento da haste e como isso, por sua vez, afeta o período de oscilação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período $ T $ de um pêndulo simples é dado por:
Aqui, $ L $ é o comprimento do pêndulo e $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,81 , m/s^2 $).
Passo 3
Como a haste está sendo aquecida, ela vai se expandir. A expansão térmica linear é dada por:
Onde:
- $ \Delta L $ é o aumento no comprimento,
- $ L_0 $ é o comprimento original,
- $ \alpha $ é o coeficiente de expansão linear,
- $ \Delta T_{amb} $ é o aumento de temperatura ambiente que queremos encontrar.
Passo 4
O novo comprimento $ L $ do pêndulo após o aumento de temperatura será:
Passo 5
Sabemos que o período desejado é o período original $ T_0 = 1,6 , s $ mais um aumento de $ \Delta T = 0,003 , s $, então:
Passo 6
Vamos relacionar os períodos com os comprimentos usando a fórmula do período do pêndulo:
Substituindo $ L $ da Passo 4:
Passo 7
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 8
Isolando $ \Delta T_{amb} $:
Resposta
O aumento de temperatura necessário é aproximadamente 197,37 °C.