Uma haste metálica de comprimento L_{0} e seção reta A_{0} é aquecida desde uma temperatura T_{0} até T. Considere que houve dilatação térmica da mesma, a qual sofreu um aumento de comprimento inicial de acordo com a lei usual da dilatação linear, L=L_{0}\left(1+\beta_{L}\left(T-T_{0}\right)\right), em que \beta_{L} é o coeficiente de dilatação linear. Houve ainda dilatação de sua seção transversal, de acordo com a lei da dilatação superficial A=A_{0}\left(1+\beta_{A}\left(T-T_{0}\right)\right), em que \beta_{A}, é o coeficiente de dilatação superficial. Se \eta_{0} é a resistividade da haste na temperatura T_{0} e \alpha é o seu coeficiente de temperatura, mostre que a resistência da haste na temperatura T é, em primeira aproximação,
R(T) \approx R_{0}\left(1+\gamma\left(T-T_{0}\right)\right)

sendo que \gamma=\alpha+\beta_{L}-\beta_{A}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a resistência R(T) de uma haste metálica aquecida de T_{0} até T, levando em conta:
  • a resistividade varia segundo \eta(T)=\eta_{0}\bigl(1+\alpha\,(T-T_{0})\bigr), com \alpha coeficiente de temperatura;
  • o comprimento se dilata linearmente: L=L_{0}\bigl(1+\beta_{L}(T-T_{0})\bigr);
  • a área da seção transversal sofre dilatação superficial: A=A_{0}\bigl(1+\beta_{A}(T-T_{0})\bigr).
    Vamos usar a fórmula básica da resistência de um condutor e fazer uma expansão em primeira ordem em \Delta T=T-T_{0}.

Passo 2

A resistência elétrica de um fio uniforme é dada por
R=\frac{\eta\,L}{A}.
Substituindo as variações com a temperatura, introduzimos:
\eta(T)=\eta_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),\quad L=L_{0}\bigl(1+\beta_{L}\,\Delta T\bigr),\quad A=A_{0}\bigl(1+\beta_{A}\,\Delta T\bigr).

Passo 3

Substituindo esses três na expressão de R, obtemos
R(T) =\frac{\eta_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr)\;L_{0}\bigl(1+\beta_{L}\,\Delta T\bigr)} {A_{0}\bigl(1+\beta_{A}\,\Delta T\bigr)}.
Definindo R_{0}=\eta_{0}L_{0}/A_{0}, isso vira
R(T)=R_{0}\,\frac{(1+\alpha\,\Delta T)(1+\beta_{L}\,\Delta T)}{1+\beta_{A}\,\Delta T}.

Passo 4

Como \Delta T é pequeno, usamos a aproximação em primeira ordem:
\frac{1}{1+\beta_{A}\,\Delta T}\approx 1-\beta_{A}\,\Delta T,
e multiplicamos
(1+\alpha\,\Delta T)(1+\beta_{L}\,\Delta T)(1-\beta_{A}\,\Delta T) \approx 1+(\alpha+\beta_{L}-\beta_{A})\,\Delta T.
Logo
R(T)\approx R_{0}\bigl[1+(\alpha+\beta_{L}-\beta_{A})\,(T-T_{0})\bigr].

Passo 5

Identificamos o coeficiente efetivo
\gamma=\alpha+\beta_{L}-\beta_{A},
de modo que a resistência cresce linearmente como
R(T)\approx R_{0}\bigl(1+\gamma\,(T-T_{0})\bigr).

Resposta

R(T)\approx R_{0}\bigl(1+\gamma\,(T-T_{0})\bigr), \qquad \gamma=\alpha+\beta_{L}-\beta_{A}.

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