O produto interno bruto (PIB) de um certo país era de 100 milhões de dólares em 1990 e de 180 milhões de dólares no ano 2000. Supondo que o PIB tem um crescimento exponencial, em relação ao tempo
, dado por
onde
são constantes positivas, qual será o seu valor no ano 2010 ?
Passo 1
O enunciado dá a lei do crescimento do PIB em função do tempo
:
onde
e
são constantes positivas. Foram fornecidos dois dados numéricos (peguei esses valores do enunciado):
- Em 1990 o PIB era
milhões de dólares. - Em 2000 o PIB era
milhões de dólares.
A pergunta é: qual será o valor do PIB no ano 2010?
Para organizar, vou medir o tempo
em anos desde 1990, ou seja:
- o ano 1990 corresponde a
, - o ano 2000 corresponde a
, - o ano 2010 corresponde a
.
Passo 2
Entender o que representam as constantes:
-
é o valor inicial do PIB no instante . Portanto, pelo dado de 1990,
Isso nos dá imediatamente
.
Breve explicação útil: a função
descreve crescimento exponencial. A constante
é a taxa (instantânea) de crescimento; se
o valor cresce, se
decresce. O fator
transforma a taxa contínua
em um multiplicador para o período
.
Passo 3
Usar o dado de 2000 (
) para encontrar
. Sabemos que
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Para resolver
usamos o logaritmo natural (função inversa do exponencial). Aplicando
aos dois lados:
Portanto
Pequena aula sobre
:
é o logaritmo natural, definido como o número que satisfaz
. Aqui foi usado porque
é a função exponencial presente no modelo.
Passo 4
Queremos
(ano 2010). Usando a fórmula com
e
encontrado:
Substituindo
:
Usando a propriedade de exponenciais
, obtemos
Calculemos
sem calculadora:
Assim
Portanto o PIB em 2010 será
milhões de dólares.
Como complemento didático: o fator de crescimento entre 1990 e 2000 foi
em 10 anos. Em 20 anos (1990→2010) o fator é
. Outra forma é calcular a taxa anual contínua aproximada
, ou cerca de
ao ano em termos de taxa contínua.
Passo 5
Resumo do procedimento para usar em prova (passo a passo que dá para reproduzir rápido):
- Escolher origem do tempo para simplificar (aqui 1990 →
). - Usar
para achar . - Substituir o segundo ponto para achar
via . - Avaliar
no tempo desejado, usando propriedades quando útil.
Isso evita fazer logaritmos repetidos e facilita cálculos à mão quando os números são racionais simples.