O produto interno bruto (PIB) de um certo país era de 100 milhões de dólares em 1990 e de 180 milhões de dólares no ano 2000. Supondo que o PIB tem um crescimento exponencial, em relação ao tempo t, dado por
P(t)=A e^{k t}
onde A, k são constantes positivas, qual será o seu valor no ano 2010 ?

Passo 1

O enunciado dá a lei do crescimento do PIB em função do tempo t:
P(t)=A e^{k t},
onde A e k são constantes positivas. Foram fornecidos dois dados numéricos (peguei esses valores do enunciado):
  • Em 1990 o PIB era 100 milhões de dólares.
  • Em 2000 o PIB era 180 milhões de dólares.
A pergunta é: qual será o valor do PIB no ano 2010?
Para organizar, vou medir o tempo t em anos desde 1990, ou seja:
  • o ano 1990 corresponde a t=0,
  • o ano 2000 corresponde a t=10,
  • o ano 2010 corresponde a t=20.

Passo 2

Entender o que representam as constantes:
  • A é o valor inicial do PIB no instante t=0. Portanto, pelo dado de 1990,
P(0)=A=100\quad\text{(milhões de dólares)}.õó
Isso nos dá imediatamente A=100.
Breve explicação útil: a função P(t)=A e^{k t} descreve crescimento exponencial. A constante k é a taxa (instantânea) de crescimento; se k>0 o valor cresce, se k<0 decresce. O fator e^{k t} transforma a taxa contínua k em um multiplicador para o período t.

Passo 3

Usar o dado de 2000 ( t=10) para encontrar k. Sabemos que
P(10)=A e^{10k}=180.
Substituindo A=100:
100 e^{10k}=180.
Dividindo ambos os lados por 100:
e^{10k}=1{,}8.
Para resolver e^{10k}=1{,}8 usamos o logaritmo natural (função inversa do exponencial). Aplicando \ln aos dois lados:
10k=\ln(1{,}8).
Portanto
k=\frac{\ln(1{,}8)}{10}.
Pequena aula sobre \ln: \ln(x) é o logaritmo natural, definido como o número que satisfaz e^{\ln(x)}=x. Aqui foi usado porque e^{(\cdot)} é a função exponencial presente no modelo.

Passo 4

Queremos P(20) (ano 2010). Usando a fórmula com A=100 e k encontrado:
P(20)=100 e^{20k}.
Substituindo k=\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}:
P(20)=100 e^{20\cdot\frac{\ln(1{,}8)}{10}}=100 e^{2\ln(1{,}8)}.
Usando a propriedade de exponenciais e^{2\ln(1{,}8)}=\bigl(e^{\ln(1{,}8)}\bigr)^2=(1{,}8)^2, obtemos
P(20)=100\cdot(1{,}8)^2.
Calculemos (1{,}8)^2 sem calculadora:
1{,}8=\frac{18}{10}\quad\Rightarrow\quad(1{,}8)^2=\left(\frac{18}{10}\right)^2=\frac{324}{100}=3{,}24.
Assim
P(20)=100\cdot 3{,}24=324.
Portanto o PIB em 2010 será 324 milhões de dólares.
Como complemento didático: o fator de crescimento entre 1990 e 2000 foi 1{,}8 em 10 anos. Em 20 anos (1990→2010) o fator é (1{,}8)^2. Outra forma é calcular a taxa anual contínua aproximada k=\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\approx 0{,}05878, ou cerca de 5{,}878\% ao ano em termos de taxa contínua.

Passo 5

Resumo do procedimento para usar em prova (passo a passo que dá para reproduzir rápido):
  1. Escolher origem do tempo para simplificar (aqui 1990 → t=0).
  2. Usar P(0)=A para achar A.
  3. Substituir o segundo ponto para achar k via \ln.
  4. Avaliar P no tempo desejado, usando propriedades e^{a\ln b}=b^{a} quando útil.
    Isso evita fazer logaritmos repetidos e facilita cálculos à mão quando os números são racionais simples.

Resposta

324 milhões de dólares

Exercícios relacionados