Uma hélice cilíndrica ou simplesmente hélice é uma generalização das hélices circulares. Estão definidas pela propriedade que as tangentes fazem um ângulo constante \alpha com uma direção fixada L. Seja n o vetor unitário diretor de L.
a) Mostre que a hélice satisfaz
\frac{k}{\tau}=\tan \alpha=c t e
onde k e \tau são respectivamente a curvatura e a torção de \gamma. Esta equação caracteriza as hélices?
b) Suponha que L seja o eixo z. Mostre que a curvatura k^{\perp} da projeção da hélice no plano ortogonal a L é dada por k^{\perp}=k \operatorname{cossec}^{2} \alpha.
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva regular \gamma parametrizada por comprimento de arco s. Há uma direção fixa L com vetor unitário diretor \mathbf{n}. A definição de hélice usada é: as tangentes \mathbf{T}(s) de \gamma fazem um ângulo constante \alpha com \mathbf{n}. Ou seja,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s)=\cos\alpha\quad\text{para todo }s.
As quantidades que aparecem são a curvatura k(s) e a torção \tau(s) da curva \gamma.
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que uma hélice satisfaz
\frac{k}{\tau}=\tan\alpha=\text{constante},
e responder se essa equação caracteriza as hélices (isto é, se a condição recíproca vale).
(b) Supondo que L seja o eixo z (vetor \mathbf{n} é \mathbf{e}_3), mostrar que a curvatura k^{\perp} da projeção da hélice no plano ortogonal a L (plano xy) é
k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha.
Informações relevantes dadas ou implicadas que vamos usar:
Frenet–Serret (para curva parametrizada por comprimento de arco): \mathbf{T}'=k\mathbf{N}, \mathbf{N}'=-k\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}, \mathbf{B}'=-\tau\mathbf{N}.
Todas as derivadas em ' ) são em relação a s.
Assumiremos curvas com k>0 e \tau bem definidas quando necessário (casos degenerados serão comentados).
Passo 2
Primeira direção: provar que, se \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha é constante (hipótese de hélice), então \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha é constante.
Explicação das ferramentas que vou usar:
Produto escalar com vetor constante: se \mathbf{n} é constante e f(s)=\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s) é constante, então f'(s)=\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}'(s)=0.
Usarei as fórmulas de Frenet para substituir \mathbf{T}' e \mathbf{B}'.
Agora passo ao cálculo: diferencio a igualdade \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha em relação a s. Como \mathbf{n} é constante,
desde que k\neq0. Conclusão: \mathbf{n} é ortogonal a \mathbf{N}, logo \mathbf{n} pertence ao subespaço gerado por \mathbf{T} e \mathbf{B}. Portanto podemos escrever (pela normalização)
Portanto \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha é constante ao longo da hélice. Isto prova a primeira afirmação pedida.
Passo 4
Agora a recíproca: mostrar que a condição \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha= constante implica que a curva é uma hélice, i.e., existe um vetor constante \mathbf{n} tal que \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha.
Estratégia: construir explicitamente um vetor \mathbf{n}(s) a partir da tríade de Frenet e mostrar que é constante quando a razão é \tan\alpha.
Se \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha, então \cos\alpha\,k-\sin\alpha\,\tau=0 e assim \mathbf{n}'(s)=\mathbf{0}. Logo \mathbf{n}(s) é constante no espaço: \mathbf{n}(s)=\mathbf{n} para todo s. Pela definição de \mathbf{n}(s) tem-se imediatamente
\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s)=\cos\alpha\quad\text{para todo }s,
ou seja, o ângulo entre \mathbf{T} e a direção fixa \mathbf{n} é constante \alpha. Portanto a condição \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha caracteriza localmente as hélices (teorema de Lancret).
Observação sobre hipóteses: para usar \dfrac{k}{\tau} é necessário k\neq0 e \tau\neq0 nos pontos considerados; casos degenerados (reta k\equiv0 ou curva planar \tau\equiv0) devem ser tratados separadamente: reta é caso trivial com ângulo 0 ou \pi e não tem torção bem definida, e curvas planas não são hélices com ângulo estritamente entre 0 e \pi/2.
Resposta à pergunta “Esta equação caracteriza as hélices?”: Sim — sob as hipóteses habituais (curva com k\neq0 e \tau bem definida), a condição \dfrac{k}{\tau}= constante é equivalente à propriedade de hélice (isto é, existe uma direção fixa que faz ângulo constante com \mathbf{T}). Este resultado é conhecido como teorema de Lancret.
Passo 5
Parte (b). Agora suponha que a direção fixa L seja o eixo z. Então \mathbf{n}=\mathbf{e}_{3} (vetor unitário na direção z). Denote a projeção ortogonal de \gamma no plano xy por
pois |\mathbf{T}|=1 e \mathbf{T}-\cos\alpha\,\mathbf{e}_{3} é o componente de \mathbf{T} no plano ortogonal a \mathbf{e}_{3}.
Passo 6
Para a curvatura de uma curva plana usamos a definição: se \mathbf{u}(\sigma) é o vetor tangente unitário da curva plana em função do parâmetro de comprimento de arco \sigma da curva projetada, então a curvatura planar é
Para que essa fórmula represente a curvatura planar precisamos que \mathbf{N} esteja contido no plano de projeção (plano ortogonal a \mathbf{e}_{3}). Mas isso é verdade para uma hélice: já mostramos no Passo 2 que \mathbf{e}_{3}\cdot\mathbf{N}=0 (pois \mathbf{n}\cdot\mathbf{N}=0 para hélice). Assim \mathbf{N} tem direção normal à projeção e é unitário nessa direção. Portanto a norma de \dfrac{d\mathbf{u}}{d\sigma} é
Resumo e observações finais, em linguagem direta e amigável:
A razão \dfrac{k}{\tau} é igual a \tan\alpha se e somente se a curva fizer um ângulo constante \alpha com uma direção fixa \mathbf{n}. Este é o conteúdo do teorema de Lancret: a condição \dfrac{k}{\tau}= constante caracteriza (localmente) as hélices para curvas com k e \tau não nulas.
Quando a direção fixa é o eixo z, a projeção da hélice no plano perpendicular tem curvatura aumentada por um fator \csc^{2}\alpha: k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha. Intuitivamente: a componente tangencial ao plano é \sin\alpha, então ao reparametrar pela velocidade dessa projeção aparece o fator \sin^{-2}\alpha.
Força aí — é um resultado bem elegante: helices aparecem exatamente quando a razão entre curvatura e torção é constante, e a projeção no plano perpendicular “amplifica” a curvatura por \csc^2\alpha.
Resposta
\dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha (constante). Sim: a condição \dfrac{k}{\tau}= constante caracteriza as hélices (teorema de Lancret), assumindo k\neq0 e \tau bem definida. k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha