Uma hélice cilíndrica ou simplesmente hélice é uma generalização das hélices circulares. Estão definidas pela propriedade que as tangentes fazem um ângulo constante \alpha com uma direção fixada L. Seja n o vetor unitário diretor de L.
a) Mostre que a hélice satisfaz
\frac{k}{\tau}=\tan \alpha=c t e
onde k e \tau são respectivamente a curvatura e a torção de \gamma. Esta equação caracteriza as hélices?
b) Suponha que L seja o eixo z. Mostre que a curvatura k^{\perp} da projeção da hélice no plano ortogonal a L é dada por k^{\perp}=k \operatorname{cossec}^{2} \alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva regular \gamma parametrizada por comprimento de arco s. Há uma direção fixa L com vetor unitário diretor \mathbf{n}. A definição de hélice usada é: as tangentes \mathbf{T}(s) de \gamma fazem um ângulo constante \alpha com \mathbf{n}. Ou seja,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s)=\cos\alpha\quad\text{para todo }s.
As quantidades que aparecem são a curvatura k(s) e a torção \tau(s) da curva \gamma.
O que o enunciado pede:
  • (a) Mostrar que uma hélice satisfaz
\frac{k}{\tau}=\tan\alpha=\text{constante},
e responder se essa equação caracteriza as hélices (isto é, se a condição recíproca vale).
  • (b) Supondo que L seja o eixo z (vetor \mathbf{n} é \mathbf{e}_3), mostrar que a curvatura k^{\perp} da projeção da hélice no plano ortogonal a L (plano xy) é
k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha.
Informações relevantes dadas ou implicadas que vamos usar:
  • Frenet–Serret (para curva parametrizada por comprimento de arco): \mathbf{T}'=k\mathbf{N}, \mathbf{N}'=-k\mathbf{T}+\tau\mathbf{B}, \mathbf{B}'=-\tau\mathbf{N}.
  • Todas as derivadas em ' ) são em relação a s.
  • Assumiremos curvas com k>0 e \tau bem definidas quando necessário (casos degenerados serão comentados).

Passo 2

Primeira direção: provar que, se \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha é constante (hipótese de hélice), então \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha é constante.
Explicação das ferramentas que vou usar:
  • Produto escalar com vetor constante: se \mathbf{n} é constante e f(s)=\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s) é constante, então f'(s)=\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}'(s)=0.
  • Usarei as fórmulas de Frenet para substituir \mathbf{T}' e \mathbf{B}'.
Agora passo ao cálculo: diferencio a igualdade \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha em relação a s. Como \mathbf{n} é constante,
\frac{d}{ds}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{T})=\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}'=0.
Pela fórmula de Frenet \mathbf{T}'=k\mathbf{N}, obtemos
\mathbf{n}\cdot(k\mathbf{N})=0\quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{N}=0,
desde que k\neq0. Conclusão: \mathbf{n} é ortogonal a \mathbf{N}, logo \mathbf{n} pertence ao subespaço gerado por \mathbf{T} e \mathbf{B}. Portanto podemos escrever (pela normalização)
\mathbf{n}=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{T})\,\mathbf{T}+(\mathbf{n}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{B}=\cos\alpha\,\mathbf{T}+\beta\,\mathbf{B},
onde \beta=\mathbf{n}\cdot\mathbf{B}. Como \mathbf{n} é unitário e \mathbf{T}\perp\mathbf{B},
1=|\mathbf{n}|^{2}=\cos^{2}\alpha+\beta^{2}\quad\Rightarrow\quad \beta=\pm\sin\alpha.
Escolhendo o sinal adequado (pode ser absorvido em \alpha), temos
\mathbf{n}=\cos\alpha\,\mathbf{T}+\sin\alpha\,\mathbf{B}.

Passo 3

Agora diferencio essa expressão \mathbf{n}=\cos\alpha\,\mathbf{T}+\sin\alpha\,\mathbf{B}. Como \mathbf{n} e \alpha são constantes,
\mathbf{0}=\cos\alpha\,\mathbf{T}'+\sin\alpha\,\mathbf{B}'.
Substituo \mathbf{T}'=k\mathbf{N} e \mathbf{B}'=-\tau\mathbf{N} (Frenet):
\mathbf{0}=\cos\alpha\,(k\mathbf{N})+\sin\alpha\,(-\tau\mathbf{N}) =(\cos\alpha\,k-\sin\alpha\,\tau)\,\mathbf{N}.
Como \mathbf{N} é unitário, a constante entre parênteses deve ser zero:
\cos\alpha\,k-\sin\alpha\,\tau=0.
Isolando a razão,
\frac{k}{\tau}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha.
Portanto \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha é constante ao longo da hélice. Isto prova a primeira afirmação pedida.

Passo 4

Agora a recíproca: mostrar que a condição \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha= constante implica que a curva é uma hélice, i.e., existe um vetor constante \mathbf{n} tal que \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}=\cos\alpha.
Estratégia: construir explicitamente um vetor \mathbf{n}(s) a partir da tríade de Frenet e mostrar que é constante quando a razão é \tan\alpha.
Defina o vetor dependente de s
\mathbf{n}(s)=\cos\alpha\,\mathbf{T}(s)+\sin\alpha\,\mathbf{B}(s).
Vamos derivar \mathbf{n}(s):
\mathbf{n}'(s)=\cos\alpha\,\mathbf{T}'(s)+\sin\alpha\,\mathbf{B}'(s) =\cos\alpha\,(k\mathbf{N})+\sin\alpha\,(-\tau\mathbf{N}) =(\cos\alpha\,k-\sin\alpha\,\tau)\mathbf{N}.
Se \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha, então \cos\alpha\,k-\sin\alpha\,\tau=0 e assim \mathbf{n}'(s)=\mathbf{0}. Logo \mathbf{n}(s) é constante no espaço: \mathbf{n}(s)=\mathbf{n} para todo s. Pela definição de \mathbf{n}(s) tem-se imediatamente
\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}(s)=\cos\alpha\quad\text{para todo }s,
ou seja, o ângulo entre \mathbf{T} e a direção fixa \mathbf{n} é constante \alpha. Portanto a condição \dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha caracteriza localmente as hélices (teorema de Lancret).
Observação sobre hipóteses: para usar \dfrac{k}{\tau} é necessário k\neq0 e \tau\neq0 nos pontos considerados; casos degenerados (reta k\equiv0 ou curva planar \tau\equiv0) devem ser tratados separadamente: reta é caso trivial com ângulo 0 ou \pi e não tem torção bem definida, e curvas planas não são hélices com ângulo estritamente entre 0 e \pi/2.
Resposta à pergunta “Esta equação caracteriza as hélices?”: Sim — sob as hipóteses habituais (curva com k\neq0 e \tau bem definida), a condição \dfrac{k}{\tau}= constante é equivalente à propriedade de hélice (isto é, existe uma direção fixa que faz ângulo constante com \mathbf{T}). Este resultado é conhecido como teorema de Lancret.

Passo 5

Parte (b). Agora suponha que a direção fixa L seja o eixo z. Então \mathbf{n}=\mathbf{e}_{3} (vetor unitário na direção z). Denote a projeção ortogonal de \gamma no plano xy por
\gamma^{\perp}(s)=\gamma(s)-(\gamma(s)\cdot\mathbf{e}_{3})\,\mathbf{e}_{3}.
Essa é uma curva plana (no plano xy). Queremos relacionar a curvatura k^{\perp} dessa projeção com a curvatura k original e o ângulo \alpha.
Primeiro calcule a derivada de \gamma^{\perp} em relação a s:
\frac{d}{ds}\gamma^{\perp}(s)=\mathbf{T}(s)-(\mathbf{T}(s)\cdot\mathbf{e}_{3})\,\mathbf{e}_{3}.
Mas \mathbf{T}\cdot\mathbf{e}_{3}=\cos\alpha (por hipótese de hélice). Assim
\frac{d}{ds}\gamma^{\perp}(s)=\mathbf{T}-\cos\alpha\,\mathbf{e}_{3}.
A velocidade da curva projetada é o módulo desse vetor:
\left\lVert\frac{d}{ds}\gamma^{\perp}\right\rVert =\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sin\alpha,
pois |\mathbf{T}|=1 e \mathbf{T}-\cos\alpha\,\mathbf{e}_{3} é o componente de \mathbf{T} no plano ortogonal a \mathbf{e}_{3}.

Passo 6

Para a curvatura de uma curva plana usamos a definição: se \mathbf{u}(\sigma) é o vetor tangente unitário da curva plana em função do parâmetro de comprimento de arco \sigma da curva projetada, então a curvatura planar é
k^{\perp}=\left\lVert\frac{d\mathbf{u}}{d\sigma}\right\rVert .
No nosso caso, o parâmetro natural da projeção não é s mas \sigma com d\sigma/ds=\sin\alpha. Construímos o versor tangente da projeção em função de s:
\mathbf{u}(s)=\frac{\frac{d}{ds}\gamma^{\perp}(s)}{\left\lVert\frac{d}{ds}\gamma^{\perp}(s)\right\rVert} =\frac{\mathbf{T}-\cos\alpha\,\mathbf{e}_{3}}{\sin\alpha}.
Diferencio \mathbf{u} em relação a s:
\frac{d\mathbf{u}}{ds}=\frac{1}{\sin\alpha}\mathbf{T}'.
Aqui observei que \cos\alpha e \mathbf{e}_{3} são constantes, então só sobra \mathbf{T}'. Usando \mathbf{T}'=k\mathbf{N} deduzo
\frac{d\mathbf{u}}{ds}=\frac{k}{\sin\alpha}\mathbf{N}.

Passo 7

Agora relaciono \dfrac{d\mathbf{u}}{d\sigma} com \dfrac{d\mathbf{u}}{ds}. Pela regra da cadeia,
\frac{d\mathbf{u}}{d\sigma}=\frac{d\mathbf{u}/ds}{d\sigma/ds}.
Sabendo d\sigma/ds=\sin\alpha, obtemos
\frac{d\mathbf{u}}{d\sigma}=\frac{\dfrac{k}{\sin\alpha}\mathbf{N}}{\sin\alpha}=\frac{k}{\sin^{2}\alpha}\mathbf{N}.
Para que essa fórmula represente a curvatura planar precisamos que \mathbf{N} esteja contido no plano de projeção (plano ortogonal a \mathbf{e}_{3}). Mas isso é verdade para uma hélice: já mostramos no Passo 2 que \mathbf{e}_{3}\cdot\mathbf{N}=0 (pois \mathbf{n}\cdot\mathbf{N}=0 para hélice). Assim \mathbf{N} tem direção normal à projeção e é unitário nessa direção. Portanto a norma de \dfrac{d\mathbf{u}}{d\sigma} é
k^{\perp}=\left\lVert\frac{d\mathbf{u}}{d\sigma}\right\rVert =\frac{k}{\sin^{2}\alpha}=k\csc^{2}\alpha,
que é exatamente a fórmula pedida.

Passo 8

Resumo e observações finais, em linguagem direta e amigável:
  • A razão \dfrac{k}{\tau} é igual a \tan\alpha se e somente se a curva fizer um ângulo constante \alpha com uma direção fixa \mathbf{n}. Este é o conteúdo do teorema de Lancret: a condição \dfrac{k}{\tau}= constante caracteriza (localmente) as hélices para curvas com k e \tau não nulas.
  • Quando a direção fixa é o eixo z, a projeção da hélice no plano perpendicular tem curvatura aumentada por um fator \csc^{2}\alpha: k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha. Intuitivamente: a componente tangencial ao plano é \sin\alpha, então ao reparametrar pela velocidade dessa projeção aparece o fator \sin^{-2}\alpha.
Força aí — é um resultado bem elegante: helices aparecem exatamente quando a razão entre curvatura e torção é constante, e a projeção no plano perpendicular “amplifica” a curvatura por \csc^2\alpha.

Resposta

\dfrac{k}{\tau}=\tan\alpha (constante). Sim: a condição \dfrac{k}{\tau}= constante caracteriza as hélices (teorema de Lancret), assumindo k\neq0 e \tau bem definida.
k^{\perp}=k\csc^{2}\alpha

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