Mostre que se F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é uma isometria, então existe uma única translação T e uma única transformação ortogonal A, tal que F=T \circ A.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro).
  • Dado: F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é uma isometria, ou seja, para todos x,y\in\mathbb{R}^{3}
\|F(x)-F(y)\|=\|x-y\|.
  • Pedido: mostrar que existem uma translação T e uma transformação ortogonal A tais que
F = T\circ A,
e que essa decomposição é única.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A propriedade principal de F é preservar distâncias.
  • Precisa-se provar dois fatos: (i) existência de T e A com A ortogonal e T translação e F=T\circ A; (ii) unicidade de T e de A.

Passo 2

Construção natural dos candidatos T e A.
Uma ideia natural: extrair a parte de translação pelo valor de F em 0. Defina o vetor
a:=F(0)\in\mathbb{R}^{3}.
Defina a translação T e a aplicação A por
T(v):=v+a\quad\text{(translação de vetor \(a\))},çã
A(x):=F(x)-a=F(x)-F(0).
Observe que, por construção,
T\bigl(A(x)\bigr)=A(x)+a=F(x)-a+a=F(x),
ou seja, se A for uma transformação linear ortogonal então teremos a decomposição desejada F=T\circ A. Agora resta provar que A é linear e ortogonal. (Não estamos assumindo nada além do que construímos.)

Passo 3

Primeira propriedade: A preserva distâncias e normas.
Para quaisquer x,y\in\mathbb{R}^{3},
\|A(x)-A(y)\|=\|F(x)-a-(F(y)-a)\|=\|F(x)-F(y)\|=\|x-y\|.
Em particular, tomando y=0,
\|A(x)\|=\|x\|\quad\text{para todo }x.
Ou seja, A preserva normas (e, pela igualdade anterior, preserva distâncias entre quaisquer pontos).

Passo 4

Mostrar que A preserva o produto interno (polarização).
Explicação do que usaremos: existe uma identidade que permite recuperar o produto interno a partir da norma (polarização). Para vetores u,v em \mathbb{R}^{3} vale a identidade
\langle u,v\rangle=\tfrac{1}{2}\bigl(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\bigr).
Como A preserva normas e distâncias, aplicando essa identidade a A(x) e A(y) obtemos
\langle A(x),A(y)\rangle = \tfrac{1}{2}\bigl(\|A(x)\|^{2}+\|A(y)\|^{2}-\|A(x)-A(y)\|^{2}\bigr).
Usando \|A(x)\|=\|x\| e \|A(x)-A(y)\|=\|x-y\| segue que
\langle A(x),A(y)\rangle = \tfrac{1}{2}\bigl(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\bigr) =\langle x,y\rangle.
Portanto, A preserva produto interno:
\langle A(x),A(y)\rangle=\langle x,y\rangle\quad\text{para todos }x,y.

Passo 5

Provar que A é aditiva: A(x+y)=A(x)+A(y).
Vamos mostrar que o vetor
S:=A(x+y)-A(x)-A(y)
é o vetor nulo. Calcule seu quadrado da norma:
\|S\|^{2}=\langle S,S\rangle.
Expandindo (e usando que A preserva produto interno) obtemos
\begin{aligned} \|S\|^{2} &= \|A(x+y)\|^{2}+\|A(x)+A(y)\|^{2}-2\langle A(x+y),A(x)+A(y)\rangle\\[4pt] &= \|x+y\|^{2}+\bigl(\|A(x)\|^{2}+\|A(y)\|^{2}+2\langle A(x),A(y)\rangle\bigr) -2\langle x+y,x+y\rangle\\[4pt] &= \|x+y\|^{2}+\bigl(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x,y\rangle\bigr)-2\|x+y\|^{2}\\[4pt] &=2\|x+y\|^{2}-2\|x+y\|^{2}=0. \end{aligned}
Logo \|S\|^{2}=0, isto é, S=0, portanto
A(x+y)=A(x)+A(y)\quad\text{para todos }x,y.]

Passo 6

Provar homogeneidade: A(\lambda x)=\lambda A(x) para todos \lambda\in\mathbb{R}, x.
Primeiro para inteiros e racionais: pela aditividade, para n\in\mathbb{Z} positivo temos A(nx)=nA(x). Para n inteiro negativo usa-se A(0)=0 e A(-x)=-A(x). Assim A(qx)=qA(x) para todo racional q.
Agora usar continuidade para estender ao real: como A preserva distâncias, é Lipschitz de constante 1, logo é contínua. Para dado real \lambda escolha sequência racionais q_{k}\to\lambda. Então
A(\lambda x)=\lim_{k}A(q_{k}x)=\lim_{k}q_{k}A(x)=\lambda A(x).
Assim a homogeneidade vale para todo \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 7

Concluir que A é linear e ortogonal.
Dos passos anteriores temos:
  • aditividade A(x+y)=A(x)+A(y),
  • homogeneidade A(\lambda x)=\lambda A(x).
Portanto A é uma transformação linear. Como A preserva produto interno,
\langle A(x),A(y)\rangle=\langle x,y\rangle\quad\text{para todos }x,y,
isso equivale à condição matricial A^{T}A=I quando representada em qualquer base ortonormal; em outras palavras, A é ortogonal.

Passo 8

Verificar que F=T\circ A e concluir existência.
Recordando as definições do Passo 2,
T(v)=v+F(0),\qquad A(x)=F(x)-F(0),
já vimos que T(A(x))=F(x) para todo x. Como mostramos que A é linear e ortogonal, concluímos que existe uma translação T e uma transformação ortogonal A tais que
F=T\circ A.

Passo 9

Provar unicidade de T e A.
Suponha que haja outra decomposição
F=T_{b}\circ B,
com T_{b}(v)=v+b e B ortogonal. Avaliando em 0 obtemos
F(0)=T_{b}(B(0))=b,
pois B(0)=0. Também pela decomposição anterior F(0)=a. Logo a=b. Assim a translação é única e igual a F(0).
Para a unicidade de A: se F=T_{a}\circ B então
B(x)=T_{a}^{-1}(F(x))=F(x)-a,
ou seja B(x)=F(x)-F(0) para todo x. Mas essa é exatamente a definição de A. Logo A é única.

Resposta

Existe e é única: T é a translação T(v)=v+F(0) e A é a transformação ortogonal A(x)=F(x)-F(0), satisfazendo F=T\circ A.

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