Mostre que se
é uma isometria, então existe uma única translação
e uma única transformação ortogonal
, tal que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro).
- Dado:
é uma isometria, ou seja, para todos
- Pedido: mostrar que existem uma translação
e uma transformação ortogonal tais que
e que essa decomposição é única.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A propriedade principal de
é preservar distâncias. - Precisa-se provar dois fatos: (i) existência de
e com ortogonal e translação e ; (ii) unicidade de e de .
Passo 2
Construção natural dos candidatos
e
.
Uma ideia natural: extrair a parte de translação pelo valor de
em
. Defina o vetor
Defina a translação
e a aplicação
por
Observe que, por construção,
ou seja, se
for uma transformação linear ortogonal então teremos a decomposição desejada
. Agora resta provar que
é linear e ortogonal. (Não estamos assumindo nada além do que construímos.)
Passo 3
Primeira propriedade:
preserva distâncias e normas.
Para quaisquer
,
Em particular, tomando
,
Ou seja,
preserva normas (e, pela igualdade anterior, preserva distâncias entre quaisquer pontos).
Passo 4
Mostrar que
preserva o produto interno (polarização).
Explicação do que usaremos: existe uma identidade que permite recuperar o produto interno a partir da norma (polarização). Para vetores
em
vale a identidade
Como
preserva normas e distâncias, aplicando essa identidade a
e
obtemos
Usando
e
segue que
Portanto,
preserva produto interno:
Passo 5
Provar que
é aditiva:
.
Vamos mostrar que o vetor
é o vetor nulo. Calcule seu quadrado da norma:
Expandindo (e usando que
preserva produto interno) obtemos
Logo
, isto é,
, portanto
Passo 6
Provar homogeneidade:
para todos
,
.
Primeiro para inteiros e racionais: pela aditividade, para
positivo temos
. Para
inteiro negativo usa-se
e
. Assim
para todo racional
.
Agora usar continuidade para estender ao real: como
preserva distâncias, é Lipschitz de constante
, logo é contínua. Para dado real
escolha sequência racionais
. Então
Assim a homogeneidade vale para todo
.
Passo 7
Concluir que
é linear e ortogonal.
Dos passos anteriores temos:
- aditividade
, - homogeneidade
.
Portanto
é uma transformação linear. Como
preserva produto interno,
isso equivale à condição matricial
quando representada em qualquer base ortonormal; em outras palavras,
é ortogonal.
Passo 8
Verificar que
e concluir existência.
Recordando as definições do Passo 2,
já vimos que
para todo
. Como mostramos que
é linear e ortogonal, concluímos que existe uma translação
e uma transformação ortogonal
tais que
Passo 9
Provar unicidade de
e
.
Suponha que haja outra decomposição
com
e
ortogonal. Avaliando em
obtemos
pois
. Também pela decomposição anterior
. Logo
. Assim a translação é única e igual a
.
Para a unicidade de
: se
então
ou seja
para todo
. Mas essa é exatamente a definição de
. Logo
é única.
Resposta
Existe e é única:
é a translação
e
é a transformação ortogonal
, satisfazendo
.