A tabela abaixo mostra dados da população de uma pequena cidade para os anos de 2010, 2014 e 2020. Faça projeção para o ano de 2041 considerando crescimento exponencial da população (método geométrico).
ANO POPULAÇÃO
2010 2866
2014 2958
2020 2905

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números da tabela do enunciado):
  • Dados:
    • Ano 2010: população 2866.
    • Ano 2014: população 2958.
    • Ano 2020: população 2905.
  • Pedido: projetar a população para o ano 2041 supondo crescimento exponencial (método geométrico).
Resumo do objetivo: encontrar uma taxa de crescimento anual constante r que descreva a população por um modelo exponencial e usar esse r para estimar a população em 2041.

Passo 2

Apresentando o modelo exponencial e explicando as variáveis (aulas rápidas, sem medo):
  • O modelo de crescimento exponencial (também chamado método geométrico) usa a fórmula
P(t)=P_0(1+r)^{t},
onde:
  • P_0 é a população num ano de referência (vou usar 2010 e então P_0=2866);
  • r é a taxa de crescimento anual (em forma decimal; por exemplo r=0{,}01 significa 1\% ao ano);
  • t é o número de anos decorridos desde o ano de referência (por exemplo, t=10 para ir de 2010 a 2020).
  • O objetivo intermediário é estimar r a partir dos dados observados. Uma forma natural (e equivalente ao método geométrico usando todos os pontos) é usar os extremos 2010 e 2020: sabemos que
\frac{P_{2020}}{P_{2010}}=(1+r)^{10}.
A partir daí isolamos r.

Passo 3

Calcular a razão entre 2020 e 2010 e preparar para extrair a raiz décima:
\frac{P_{2020}}{P_{2010}}=\frac{2905}{2866}.
Calcular essa razão numericamente (mostrando a conta com aproximação controlada):
\frac{2905}{2866}=1+\frac{39}{2866}\approx 1{,}01361.
Para achar r resolvemos
(1+r)^{10}=1{,}01361\quad\Rightarrow\quad 1+r=\left(1{,}01361\right)^{1/10}.

Passo 4

Como extrair a raiz décima sem uma mágica: usamos logaritmo e aproximações (me mostro passo a passo para você poder fazer na prova):
  • Tome logaritmo natural:
\ln(1+r)=\frac{1}{10}\ln\!\bigl(1{,}01361\bigr).
  • Para calcular \ln(1{,}01361) usamos a expansão \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2} válida para x pequeno. Aqui x=0{,}01361.
    • x=0{,}01361.
    • x^2/2\approx\frac{(0{,}01361)^2}{2}\approx\frac{0{,}000185}{2}\approx0{,}0000926.
    • Logo \ln(1{,}01361)\approx 0{,}01361-0{,}0000926\approx 0{,}0135174.
  • Então
\ln(1+r)\approx\frac{0{,}0135174}{10}=0{,}00135174.
  • Recuperando 1+r por exponencial:
1+r=\exp\bigl(0{,}00135174\bigr)\approx 1+0{,}00135174+\frac{(0{,}00135174)^2}{2}\approx 1{,}0013526.
(Usei a expansão \exp(y)\approx 1+y+y^2/2 porque y é muito pequeno.)
Portanto a taxa anual estimada é aproximadamente
r\approx 0{,}0013526,
ou em porcentagem r\approx 0{,}13526\% ao ano (ou seja, praticamente zero, crescimento muito lento).

Passo 5

Projetar para 2041: escolho 2010 como ano base (então t=2041-2010=31 anos). Aplicando o modelo:
P_{2041}=P_{2010}(1+r)^{31}=2866\cdot(1{,}0013526)^{31}.
Para calcular (1{,}0013526)^{31} usamos novamente logaritmo/exponencial:
\ln\bigl((1{,}0013526)^{31}\bigr)=31\cdot\ln(1{,}0013526)\approx 31\cdot 0{,}00135174\approx 0{,}041903.
Então
(1{,}0013526)^{31}\approx \exp(0{,}041903)\approx 1+0{,}041903+\frac{(0{,}041903)^2}{2}\approx 1{,}04278.
Multiplicando:
P_{2041}\approx 2866\cdot 1{,}04278\approx 2866+2866\cdot0{,}04278\approx 2866+122{,}6\approx 2988{,}6.

Passo 6

Verificação rápida (modo amigo): se usar o ano 2020 como base dá o mesmo final (cheque curto):
  • t=2041-2020=21.
  • (1{,}0013526)^{21}\approx \exp(21\cdot0{,}00135174)=\exp(0{,}028385)\approx1{,}02881.
  • P_{2041}\approx 2905\cdot1{,}02881\approx 2988{,}7.
    Concorda com o resultado anterior (diferenças mínimas por arredondamento), ótimo sinal de consistência.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: população prevista para 2041 é aproximadamente 2989 habitantes (arredondando para inteiro, já que população é contagem inteira). É um crescimento muito pequeno em relação a 2010–2020, por isso a projeção fica perto dos valores atuais — esta é uma consequência direta do r muito pequeno.

Resposta

2989

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