A tabela abaixo mostra dados da população de uma pequena cidade para os anos de 2010, 2014 e 2020. Faça projeção para o ano de 2041 considerando crescimento exponencial da população (método geométrico).
ANO
POPULAÇÃO
2010
2866
2014
2958
2020
2905
| ANO | POPULAÇÃO |
| 2010 | 2866 |
| 2014 | 2958 |
| 2020 | 2905 |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números da tabela do enunciado):
- Dados:
- Ano
: população . - Ano
: população . - Ano
: população .
- Ano
- Pedido: projetar a população para o ano
supondo crescimento exponencial (método geométrico).
Resumo do objetivo: encontrar uma taxa de crescimento anual constante
que descreva a população por um modelo exponencial e usar esse
para estimar a população em
.
Passo 2
Apresentando o modelo exponencial e explicando as variáveis (aulas rápidas, sem medo):
- O modelo de crescimento exponencial (também chamado método geométrico) usa a fórmula
onde:
-
é a população num ano de referência (vou usar e então ); -
é a taxa de crescimento anual (em forma decimal; por exemplo significa ao ano); -
é o número de anos decorridos desde o ano de referência (por exemplo, para ir de 2010 a 2020). - O objetivo intermediário é estimar
a partir dos dados observados. Uma forma natural (e equivalente ao método geométrico usando todos os pontos) é usar os extremos 2010 e 2020: sabemos que
A partir daí isolamos
.
Passo 3
Calcular a razão entre
e
e preparar para extrair a raiz décima:
Calcular essa razão numericamente (mostrando a conta com aproximação controlada):
Para achar
resolvemos
Passo 4
Como extrair a raiz décima sem uma mágica: usamos logaritmo e aproximações (me mostro passo a passo para você poder fazer na prova):
- Tome logaritmo natural:
- Para calcular
usamos a expansão válida para pequeno. Aqui . -
. -
. - Logo
.
-
- Então
- Recuperando
por exponencial:
(Usei a expansão
porque
é muito pequeno.)
Portanto a taxa anual estimada é aproximadamente
ou em porcentagem
ao ano (ou seja, praticamente zero, crescimento muito lento).
Passo 5
Projetar para
: escolho
como ano base (então
anos). Aplicando o modelo:
Para calcular
usamos novamente logaritmo/exponencial:
Então
Multiplicando:
Passo 6
Verificação rápida (modo amigo): se usar o ano
como base dá o mesmo final (cheque curto):
-
. -
. -
.
Concorda com o resultado anterior (diferenças mínimas por arredondamento), ótimo sinal de consistência.
Passo 7
Interpretação e arredondamento final: população prevista para 2041 é aproximadamente
habitantes (arredondando para inteiro, já que população é contagem inteira). É um crescimento muito pequeno em relação a 2010–2020, por isso a projeção fica perto dos valores atuais — esta é uma consequência direta do
muito pequeno.
Resposta
2989