Um helicóptero sobe verticalmente a uma velocidade de 6 m / s. Um observador, a uma distância de 300 m do local de onde partiu - helicóptero, o vê sob um ângulo theta, medido em radianos. Com que velocidade está variando o ângulo theta no instante em que o helicóptero está a uma altura de 240 m do solo ? (Considere a altura do homem desprezivel ).
a) () 13 rad / s
b) () 1d 2 rad / s
c) () 2 rad / s
d) ( (12 rad / s
e) ( ) 141 rad / s

Passo 1

O enunciado diz que o helicóptero sobe verticalmente com velocidade constante de 6 m/s. O observador está a 300 m horizontalmente debaixo do ponto de partida, e vê o helicóptero sob um ângulo de elevação theta. Precisamos relacionar theta com a altura y do helicóptero e usar derivação implícita (taxas relacionadas) para encontrar dfracdthetadt quando y=240 m.

Passo 2

Definimos a relação trigonométrica da elevação:
tantheta = y300
Isso vale para qualquer instante, pois o triângulo retângulo formado tem cateto oposto y e cateto adjacente 300.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t. Usando dfracddt(tantheta)=sec^2theta;dfracdthetadt e dfracddtl(y/300r)=dfrac1300,dfracdydt, obtemos
sec^2theta;dthetadt = 1300,dydt
Como dfracdydt=6 m/s, segue
dthetadt = 1300,sec^2theta;6 = 6300cos^2theta

Passo 4

Para achar cos^2theta quando y=240, note que tan^2theta = (240/300)^2 = (4/5)^2 = 16/25. Então
sec^2theta = 1 + tan^2theta = 1 + 1625 = 4125, cos^2theta = 1sec^2theta = 2541
Substituindo em dfracdthetadt:
dthetadt = 6300cdot2541 = 150300cdot41 = 15012300 = 182 rad/s

Resposta

182 rad/s

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