Triângulo equilátero A B C, \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, centro O.
Expresse \overrightarrow{A O} como \frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}).
Passo 1
O enunciado (como foi escrito) dá as seguintes informações:
Triângulo equilátero A B C.
\vec{u}=\overrightarrow{A B}.
\vec{v}=\overrightarrow{B C}.
Centro O (no triângulo equilátero o ponto chamado “centro” normalmente é o mesmo para baricentro/centroide, circuncentro e incentro).
Pede: expressar \overrightarrow{A O} como \dfrac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}).
Observação importante (ambiguidade): com as definições exatamente como estão (\vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{B C}), a expressão pedida não é verdadeira: colocando A como origem vetorial obtém-se \overrightarrow{A O}=\dfrac{2\vec{u}+\vec{v}}{3}. Portanto há duas possibilidades razoáveis:
Ou o enunciado tem um lapso e, na verdade, queria \vec{v}=\overrightarrow{A C}. Nesse caso a identidade \overrightarrow{A O}=\dfrac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}) é correta.
Ou o enunciado está correto e a resposta esperada seria \overrightarrow{A O}=\dfrac{2\vec{u}+\vec{v}}{3}.
Vou resolver assumindo a interpretação mais natural para obter a fórmula pedida: isto é, assumir que \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C}. Se desejar, no final eu mostro rapidamente a conta para o caso \vec{v}=\overrightarrow{B C}.
Passo 2
Escolha do método: vou usar posição vetorial (colocar A como origem) porque fica muito simples fazer soma média dos vértices para achar o centroide. Explico a ideia antes de calcular:
Se usarmos vetores posição relativos a A (ou seja, tomamos A como origem), então as posições dos outros vértices são dadas diretamente por \vec{u} e \vec{v}.
O centroide (baricentro) de um triângulo com vértices nas posições \vec{r}_A,\vec{r}_B,\vec{r}_C tem posição \dfrac{\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}. Vou justificar isso devagar no próximo passo.
Passo 3
Definições claras e justificativa do fato usado.
Tomar A como origem significa que a posição vetorial de A é \vec{r}_A=\vec{0}.
Pela nossa suposição corrigida, temos \vec{r}_B=\vec{u} e \vec{r}_C=\vec{v}.
Fato geométrico/vetorial (justificativa didática): o baricentro O do triângulo é o ponto de interseção das medianas; cada mediana é dividida pelo baricentro na razão 2:1 (do vértice para o baricentro é o dobro da distância baricentro->médio do lado oposto). Em termos vetoriais isso leva à fórmula da média aritmética das posições:
Seja M o ponto médio de B e C. Então \vec{r}_M=\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{2}.
A mediana AM tem vetor \overrightarrow{A M}=\vec{r}_M-\vec{r}_A=\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{2}-\vec{0}=\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{2}.
O baricentro O está a 2/3 do caminho de A para M, logo \overrightarrow{A O}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{A M}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{2}=\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}.
Como \vec{r}_A=\vec{0}, isso é equivalente a \vec{r}_O=\dfrac{\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}. Ou seja, o vetor de A até O é \overrightarrow{A O}=\vec{r}_O-\vec{r}_A=\dfrac{\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}-\vec{0}=\dfrac{\vec{r}_B+\vec{r}_C}{3}.
Passo 4
Aplicando os valores das posições (com A como origem e \vec{r}_B=\vec{u},\\ \vec{r}_C=\vec{v}):
Com \vec{r}_A=\vec{0}, \vec{r}_B=\vec{u}, \vec{r}_C=\vec{v}, chega-se ao mesmo resultado \overrightarrow{A O}=\dfrac{\vec{u}+\vec{v}}{3}.
Dica para prova: sempre que pedirem posição de centroide, pense “média das posições dos vértices” ou coloque um vértice na origem para simplificar contas.
Observação final (caso o enunciado realmente quisesse \vec{v}=\overrightarrow{B C}): então, colocando A como origem temos \vec{r}_B=\vec{u} e \vec{r}_C=\vec{u}+\vec{v}, daí