Triângulo equilátero A B C, \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, centro O.
Expresse \overrightarrow{B O} em função de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Triângulo equilátero A B C.
  • \vec{u}=\overrightarrow{A B}.
  • \vec{v}=\overrightarrow{B C}.
  • Ponto O é o centro do triângulo (no triângulo equilátero, esse “centro” é o ponto comum ao baricentro, circuncentro e incentro).
    O que é pedido:
  • Expressar \overrightarrow{B O} em função de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Estratégia para simplificar contas (escolha de referência):
  • É muito prático colocar a origem dos vetores em B. Ou seja, trabalhar com vetores posição relativos a B.
  • Com origem em B, a posição de B é o vetor nulo \vec{0}.
  • Explicar como obter as posições de A e C a partir de \vec{u} e \vec{v}:
    • \vec{u}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\vec{0}-\overrightarrow{A}=-\overrightarrow{A}. Portanto a posição de A (relativa a B) é \overrightarrow{A}=-\vec{u}.
    • \vec{v}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}-\vec{0}=\overrightarrow{C}. Portanto a posição de C (relativa a B) é \overrightarrow{C}=\vec{v}.
  • Resumo das posições relativas a B:
    • posição de A: -\vec{u},
    • posição de B: \vec{0},
    • posição de C: \vec{v}.

Passo 3

Propriedade do “centro” no triângulo equilátero:
  • No triângulo equilátero, o centro O coincide com o baricentro (o ponto de interseção das medianas).
  • Fórmula do baricentro: a posição do baricentro é a média aritmética das posições dos vértices.
    • Se r_A,r_B,r_C são vetores posição de A,B,C relativamente a uma mesma origem, então a posição de O é
    r_O=\frac{r_A+r_B+r_C}{3}.
  • Aqui já temos r_A=-\vec{u}, r_B=\vec{0}, r_C=\vec{v} (todas relativas a B).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{B O} usando a média das posições:
  • Substituindo na fórmula do baricentro (todas as quantidades abaixo estão referidas à origem em B):
r_O=\frac{(-\vec{u})+\vec{0}+\vec{v}}{3}.
  • Como \overrightarrow{B O} é exatamente o vetor posição de O quando a origem é B, segue que \overrightarrow{B O}=r_O.
  • Simplificando a expressão acima obtemos o vetor de interesse.

Passo 5

Interpretando geometricamente e checando consistência:
  • A expressão mostra que \overrightarrow{B O} é uma combinação linear de \vec{u} e \vec{v} com soma dos coeficientes igual a zero, o que faz sentido pois O está no interior do triângulo.
  • Também é coerente com o fato de que, se trocar A e C (ou seja trocar \vec{u} por -\vec{v} e vice-versa de acordo com definições), a fórmula ajusta-se por simetria.

Resposta

\overrightarrow{B O}=\dfrac{1}{3}\bigl(\vec{v}-\vec{u}\bigr)

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