Triângulo equilátero A B C, \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{B C}, centro O.
Expresse \overrightarrow{B O} em função de \vec{u} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá:
Triângulo equilátero A B C.
\vec{u}=\overrightarrow{A B}.
\vec{v}=\overrightarrow{B C}.
Ponto O é o centro do triângulo (no triângulo equilátero, esse “centro” é o ponto comum ao baricentro, circuncentro e incentro).
O que é pedido:
Expressar \overrightarrow{B O} em função de \vec{u} e \vec{v}.
Passo 2
Estratégia para simplificar contas (escolha de referência):
É muito prático colocar a origem dos vetores em B. Ou seja, trabalhar com vetores posição relativos a B.
Com origem em B, a posição de B é o vetor nulo \vec{0}.
Explicar como obter as posições de A e C a partir de \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\vec{0}-\overrightarrow{A}=-\overrightarrow{A}. Portanto a posição de A (relativa a B) é \overrightarrow{A}=-\vec{u}.
\vec{v}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}=\overrightarrow{C}-\vec{0}=\overrightarrow{C}. Portanto a posição de C (relativa a B) é \overrightarrow{C}=\vec{v}.
Resumo das posições relativas a B:
posição de A: -\vec{u},
posição de B: \vec{0},
posição de C: \vec{v}.
Passo 3
Propriedade do “centro” no triângulo equilátero:
No triângulo equilátero, o centro O coincide com o baricentro (o ponto de interseção das medianas).
Fórmula do baricentro: a posição do baricentro é a média aritmética das posições dos vértices.
Se r_A,r_B,r_C são vetores posição de A,B,C relativamente a uma mesma origem, então a posição de O é
r_O=\frac{r_A+r_B+r_C}{3}.
Aqui já temos r_A=-\vec{u}, r_B=\vec{0}, r_C=\vec{v} (todas relativas a B).
Passo 4
Calcular \overrightarrow{B O} usando a média das posições:
Substituindo na fórmula do baricentro (todas as quantidades abaixo estão referidas à origem em B):
r_O=\frac{(-\vec{u})+\vec{0}+\vec{v}}{3}.
Como \overrightarrow{B O} é exatamente o vetor posição de O quando a origem é B, segue que \overrightarrow{B O}=r_O.
Simplificando a expressão acima obtemos o vetor de interesse.
Passo 5
Interpretando geometricamente e checando consistência:
A expressão mostra que \overrightarrow{B O} é uma combinação linear de \vec{u} e \vec{v} com soma dos coeficientes igual a zero, o que faz sentido pois O está no interior do triângulo.
Também é coerente com o fato de que, se trocar A e C (ou seja trocar \vec{u} por -\vec{v} e vice-versa de acordo com definições), a fórmula ajusta-se por simetria.