(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) Um sistema de transporte de água entre dois reservatórios com diferença de nível de 12 m é feito por uma tubulação de 1100 m de comprimento e 0,20 \mathrm{~m} de diâmetro e uma bomba para o recalque. Observa-se que, para o fluxo ascendente, recalque, e para o fluxo descendente, escoamento por gravidade, a vazão é a mesma. Se o rendimento da bomba é 70 \%, determine sua potência. Rugosidade absoluta da tubulação, \varepsilon=0,25 \mathrm{~mm}. R. Pot =14,77 \mathrm{~kW}(20 \mathrm{cv})

Passo 1

O enunciado pede a potência da bomba num circuito entre dois reservatórios com diferença de cota \Delta z = 12\:\mathrm{m}. A tubulação tem comprimento L = 1100\:\mathrm{m}, diâmetro D = 0,20\:\mathrm{m} e rugosidade absoluta \varepsilon=0,25\:\mathrm{mm}. Observa-se que, tanto para o fluxo de recalque (subindo) quanto para o escoamento por gravidade (descendo), a vazão Q é a mesma.
Conteúdo necessário:
  • Equação de Bernoulli com perda de carga de Darcy–Weisbach
  • Correlação de Colebrook para o fator de atrito f
  • Cálculo da potência hidráulica e potência de eixo da bomba (com eficiência \eta=0,70)

Passo 2

Escrevemos a equação de energia entre as superfícies livres dos dois reservatórios para o escoamento descendente, desprezando perdas de carga local:
hf \;=\;\Delta z \;=\;12\:\mathrm{m}
onde a perda de carga por atrito é, pela Darcy–Weisbach,
hf \;=\;f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}
com v a velocidade média e g=9,81\:\mathrm{m/s^2}. Note que v=Q/A e A=\pi D^2/4.

Passo 3

Ligamos o fator de atrito f à vazão pela equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} \;=\; -2\,\log_{10}\!\Biggl(\frac{\varepsilon}{3,7D}\;+\;\frac{2,51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Biggr)
onde \mathrm{Re} = vD/\nu e \nu\approx1\times10^{-6}\:\mathrm{m^2/s}.
Fazemos iterações:
  1. Chute inicial f_0=0,02.
  2. Da perda hf=12\:\mathrm{m} obtemos
v = \sqrt{\frac{2g\,hf\,D}{f\,L}}
  1. Calcule \mathrm{Re}, avalie o lado direito de Colebrook, encontre f.
  2. Repita até convergência \Delta f\ll10^{-4}.
No fim obtém-se
f \approx 0,0216, \quad v \approx 1,406\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Com v calculado, a vazão é
Q = A\,v = \frac{\pi D^2}{4}\,v \;\approx\; \frac{\pi\,(0,20)^2}{4}\times1,406 \;\approx\; 0,0442\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Para o recalque (fluxo ascendente) a bomba precisa vencer a mesma perda de carga hf=12\:\mathrm{m} mais a subida \Delta z=12\:\mathrm{m}. Portanto a altura manométrica requerida é
H_{\mathrm{bomba}} = hf + \Delta z = 12 + 12 = 24\:\mathrm{m}.
A potência hidráulica é
P_h = \rho\,g\,Q\,H_{\mathrm{bomba}} = 1000\cdot9,81\cdot0,0442\cdot24 \approx 10,41\:\mathrm{kW}.
Como a eficiência da bomba é \eta=0,70, a potência de eixo (entrada) será
P_{\mathrm{eixo}} = \frac{P_h}{\eta} \approx \frac{10,41}{0,70} \approx 14,87\:\mathrm{kW}.

Resposta

A potência requerida pela bomba é aproximadamente
14{,}8\:\mathrm{kW}
( \approx 20 cv).

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