Uma indústria precisa transportar água de um reservatório superior para um tanque inferior, localizado 5 metros abaixo do nível do reservatório. A tubulação é de aço galvanizado ( \varepsilon=0,15 \mathrm{~mm} ) com comprimento de 40 m e está conectada diretamente entre os dois tanques. A vazão desejada é de 0,004 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Considerando que as perdas menores são desprezíveis, determine o diâmetro da tubulação necessário para garantir essa vazão.

Passo 1

O enunciado envolve transporte de água de um nível superior a um nível inferior com \Delta z=5,m disponível para vencer perdas por atrito em uma tubulação de aço galvanizado de comprimento L=40,m e rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}15,mm. A vazão desejada é Q=0{,}004, m^{3}/s.
Conteúdo: equação de Darcy–Weisbach para perda de carga, fator de atrito de Colebrook (ou fórmula explícita de Swamee–Jain) e balanço de energia simplificado (perdas menores desprezíveis).

Passo 2

Escrevendo a perda de carga uniforme segundo Darcy–Weisbach,
h_f = f \,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
onde V=Q/A e A=\tfrac{\pi D^2}{4}. Como toda a carga disponível \Delta z é usada para vencer h_f, temos
\Delta z = h_f \quad\Longrightarrow\quad 5 = f\,\frac{40}{D}\,\frac{\bigl(Q/( \pi D^2/4)\bigr)^2}{2\,9{,}81}\,.
Reorganizando em função de D, obtemos a equação implícita
Q^2 = \frac{\pi^2\,g\,\Delta z}{8\,f\,L}\;D^5 \quad\Longrightarrow\quad D^5 = \frac{8\,f\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,\Delta z}\,.

Passo 3

O fator de atrito f para escoamento turbulento em tubulações rugosas é dado implicitamente por Colebrook, mas podemos usar a fórmula explícita de Swamee–Jain:
f = 0{,}25 \Biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\Biggr]^{-2}
com
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu} \quad\text{e}\quad V = \frac{Q}{\pi D^2/4}\,,\quad \nu = 1\times10^{-6}\,{\rm m^2/s}.
Logo temos duas equações acopladas em D e f.

Passo 4

Fazemos iteração numérica:
  1. Chute inicial f_0=0{,}02.
  2. Calcule
D_1 = \biggl(\frac{8\,f_0\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,\Delta z}\biggr)^{1/5} = \bigl(2{,}114\times10^{-7}\bigr)^{1/5}\approx0{,}0462\rm\,m.
  1. Com D_1, determine
V_1=\frac{0{,}004}{\pi(0{,}0462)^2/4}\approx2{,}39\rm\,m/s,\quad \mathrm{Re}_1\approx1{,}10\times10^5,\quad \frac{\varepsilon}{D_1}\approx0{,}00325,
f_1 = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{0{,}00015}{3{,}7\times0{,}0462} + 5{,}74/1{,}10\times10^5{}^{0,9}\bigr)\Bigr]^{-2} \approx0{,}0281.
  1. Recalcule
D_2 = \Bigl(\tfrac{8\,f_1\,L\,Q^2}{\pi^2\,g\,\Delta z}\Bigr)^{1/5} \approx0{,}0497\rm\,m.
  1. Repita até convergir: no próximo passo obtém-se f_2\approx0{,}0277 e D_3\approx0{,}0493,m.
A iteração converge para
D\approx0{,}05\rm\,m.

Resposta

O diâmetro necessário é aproximadamente D=0{,}05,m (50 mm).

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