(Manual de Hidráulica - Azevedo Netto) Determinar o diâmetro necessário para que uma tubulação de aço ( \varepsilon=0,000046 \mathrm{~m} ) conduza 19 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de querosene a 10^{\circ} \mathrm{C}(v=0,00000278 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}), com uma perda de carga que não exceda 6 m em 1.200 m de extensão. Calcular velocidade e perda de carga para o diâmetro adotado.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro D de uma tubulação de aço (rugosidade \varepsilon=4{,}6\times10^{-5}\,\mathrm{m}) que transporte vazão Q=19\,\mathrm{L/s}=0{,}019\,\mathrm{m^3/s} de querosene a 10^\circ\mathrm{C} (viscosidade cinemática \nu=2{,}78\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}), de modo que a perda de carga não exceda 6\,\mathrm m em L=1200\,\mathrm m. Depois, calcular velocidade média V e perda de carga resultante para o diâmetro adotado. Vamos usar o método de Darcy–Weisbach e a fórmula implícita de Colebrook–White (ou a aproximação de Swamee–Jain) para obter o fator de atrito f.

Passo 2

A perda de carga segundo Darcy–Weisbach é
h_L \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde \,V=\dfrac{4Q}{\pi D^2}, \,g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2},
e o fator de atrito f em escoamento turbulento é dado implicitamente por Colebrook–White
\frac1{\sqrt f} \;=\; -2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt f}\Bigr),
com \mathrm{Re}=\dfrac{VD}{\nu}. Na prática usa-se a fórmula de Swamee–Jain para f:
f \;=\; \frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\bigr)\bigr]^2}.
Precisamos achar D tal que h_L=6\,\mathrm m.

Passo 3

Fazemos uma estimativa inicial assumindo f\approx0{,}02. Da equação combinada
h_L \;=\; \frac{8fL Q^2}{g\pi^2 D^5}
e impondo h_L=6\,\mathrm m, obtemos
D^5 \;=\;\frac{8\cdot0{,}02\cdot1200\cdot(0{,}019)^2}{9{,}81\,\pi^2\cdot6} \;\approx\;1{,}19\times10^{-4},
logo
D\approx\bigl(1{,}19\times10^{-4}\bigr)^{1/5}\approx0{,}164\,\mathrm m.

Passo 4

Para D=0{,}164\,\mathrm m calculamos
V=\frac{4\cdot0{,}019}{\pi\,(0{,}164)^2}\approx0{,}90\,\mathrm{m/s},
\mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}=\frac{0{,}90\cdot0{,}164}{2{,}78\times10^{-6}} \approx5{,}3\times10^4,
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}164} \approx7{,}6\times10^{-5}, \quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx3{,}2\times10^{-4}.
Aplicando Swamee–Jain:
f =\frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}(7{,}6\times10^{-5}+3{,}2\times10^{-4})\bigr]^2} \approx0{,}0216.

Passo 5

Reajustamos D com f=0{,}0216:
D^5=\frac{8\cdot0{,}0216\cdot1200\cdot(0{,}019)^2}{9{,}81\,\pi^2\cdot6} \approx1{,}29\times10^{-4},
D\approx\bigl(1{,}29\times10^{-4}\bigr)^{1/5}\approx0{,}166\,\mathrm m.
Essa iteração já converge bem.

Passo 6

Escolhemos o diâmetro comercial D=0{,}17\,\mathrm m. Para esse valor:
V=\frac{4\cdot0{,}019}{\pi\,(0{,}17)^2}\approx0{,}84\,\mathrm{m/s}, \quad \mathrm{Re}=\frac{0{,}84\cdot0{,}17}{2{,}78\times10^{-6}}\approx5{,}1\times10^4,
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx7{,}3\times10^{-5},\quad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx3{,}3\times10^{-4},
f\approx\frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}(7{,}3\times10^{-5}+3{,}3\times10^{-4})\bigr]^2} \approx0{,}0217,
h_L = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} =0{,}0217\frac{1200}{0{,}17}\frac{(0{,}84)^2}{2\cdot9{,}81} \approx5{,}5\,\mathrm m,
que satisfaz h_L<6\,\mathrm m.

Resposta

Diâmetro adotado: D=0{,}17\,\mathrm m
Velocidade média: V\approx0{,}84\,\mathrm{m/s}
Perda de carga correspondente: h_L\approx5{,}5\,\mathrm m

Exercícios relacionados