A hidrólise em fase líquida do anidrido acético para formar ácido acético é mostrada a seguir:
\left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CO}\right)_{2} \mathrm{O}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \rightarrow 2 \mathrm{CH}_{3} \mathrm{COOH}
A hidrólise deve ser conduzida em um CSTR de 1 litro e um PFR de 0,311 litro. A vazão volumétrica para cada caso é 3,3 \times 10^{-3} \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{s}. A reação segue uma lei de velocidade elementar com uma velocidade específica de reação de 1,95 \times 104 \mathrm{dm}^{3} / \mathrm{mol} \cdot \mathrm{s}. As concentrações de anidrido acético e de água na alimentação dos reatores são de 1 M e 51,2 \mathrm{M}, respectivamente. Encontre a conversão
no CSTR

Passo 1

O enunciado pede a conversão da reação de hidrólise do anidrido acético num reator CSTR. Os dados fornecidos são (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Reação: \left(\mathrm{CH}_{3}\mathrm{CO}\right)_{2}\mathrm{O} + \mathrm{H}_{2}\mathrm{O} \rightarrow 2\,\mathrm{CH}_{3}\mathrm{COOH}.
  • Velocidade específica: k = 1{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{dm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Vazão volumétrica: q = 3{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{dm}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Volume do CSTR: V = 1\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Concentrações na alimentação: C_{A0}=1\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3} (anidrido) e C_{W0}=51{,}2\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3} (água).
  • Pergunta: encontrar a conversão no CSTR, isto é X = \dfrac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}, onde C_A é a concentração de anidrido no reator em regime estacionário.

Passo 2

Entendendo a cinética e escrevendo a equação de balanço do CSTR.
  • Como a reação é elementar bimolecular, a velocidade volumétrica de consumo do anidrido é
r_A = -\dfrac{dC_A}{dt} = k\,C_A\,C_W,
onde C_A é a concentração do anidrido e C_W a da água. Aqui k tem unidades de \mathrm{dm}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}, compatíveis com reação de segunda ordem.
  • Para um CSTR em regime estacionário com vazão volumétrica constante, o balanço molar do componente A (anidrido) é
q\,C_{A0} - q\,C_A + V\,r_A = 0.
Reescrevendo com r_A=-kC_AC_W,
q\left(C_{A0}-C_A\right) = k\,V\,C_A\,C_W.
Esta é a equação básica que vamos usar para achar C_A e, daí, a conversão X.

Passo 3

Justificando a aproximação quase-ideal: pseudo-primeira ordem.
  • A água está em grande excesso: C_{W0}=51{,}2\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3} contra C_{A0}=1\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3}. Mesmo que todo o anidrido reaja, a água diminuiria no máximo 1\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3}, ou seja uma variação relativa de \dfrac{1}{51{,}2}\approx0{,}0196 (≈1,96%). Então é razoável, e comumente feito, assumir a concentração de água praticamente constante dentro do reator, igual à concentração de alimentação C_{W}\approx C_{W0}. Isso simplifica muito e é preciso para uma resposta rápida na prova.
  • Sob essa aproximação definimos a constante pseudo-primeira ordem
k' = k\,C_{W0}.
Assim r_A \approx k' C_A e a equação do CSTR fica linear em C_A:
q\left(C_{A0}-C_A\right) = k' V C_A.

Passo 4

Resolver a equação sob aproximação pseudo-primeira ordem.
  • Rearranjando:
qC_{A0} = qC_A + k' V C_A = C_A\left(q + k' V\right).
  • Logo
C_A = \dfrac{q\,C_{A0}}{q + k' V} = \dfrac{C_{A0}}{1 + \dfrac{k' V}{q}}.
  • Definindo o tempo de residência \tau = \dfrac{V}{q}, fica mais claro:
C_A = \dfrac{C_{A0}}{1 + k'\tau}, \qquad X = 1 - \dfrac{C_A}{C_{A0}} = \dfrac{k'\tau}{1 + k'\tau}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro o tempo de residência:
\tau = \dfrac{V}{q} = \dfrac{1\\ \mathrm{dm}^{3}}{3{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{dm}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}} = 303{,}030303\ldots\\ \mathrm{s}.
  • Constante pseudo-primeira ordem:
k' = k\,C_{W0} = \left(1{,}95\times10^{4}\right)\times 51{,}2 = 998{,}400\\ \mathrm{s}^{-1}.
(veja: 1{,}95\times10^{4}\times51{,}2 = 1{,}95\times51{,}2\times10^{4}=99{,}84\times10^{4}=998{,}400).
  • Produto k'\tau:
k'\tau = 998{,}400 \times 303{,}030303\ldots \approx 302{,}545{,}454{,}5.
  • Concentração estacionária de A:
C_A = \dfrac{C_{A0}}{1 + k'\tau} = \dfrac{1}{1 + 3{,}025454545\times10^{8}} \approx 3{,}30\times10^{-9}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3}.
  • Conversão:
X = 1 - \dfrac{C_A}{C_{A0}} \approx 1 - 3{,}30\times10^{-9} \approx 0{,}9999999967.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 99{,}99999967\%. Em palavras: praticamente conversão completa.

Passo 6

Verificação rápida sem a aproximação (confirmação de consistência)
  • Se não quisermos assumir inicialmente C_W constante, podemos usar a relação estequiométrica no CSTR: C_W = C_{W0} - (C_{A0}-C_A). Substituindo em
q(C_{A0}-C_A) = k V C_A C_W = k V C_A\big(C_{W0} - C_{A0} + C_A\big),
obtém-se uma equação não linear em C_A. Para os números dados, a solução dessa equação dá C_A da ordem de 10^{-9}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{dm}^{-3}, isto é essencialmente o mesmo resultado numérico que obtivemos com a aproximação pseudo-primeira ordem. Portanto a aproximação foi justificada e o resultado é consistente.

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo
  • A água está em grande excesso e a constante efetiva k' fica enorme; com o tempo de residência dado, a reação é extremamente rápida no CSTR, resultando em conversão praticamente unitária. Bom trabalho: esse é um caso em que a intuição (excesso de reagente + alta constante = quase completa conversão) funciona bem. Força nos estudos — você já fez o passo mais difícil que é entender o balanço e a aproximação!

Resposta

X \approx 0{,}9999999967\\ \approx 99{,}99999967\%

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