(Hines et al.) A companhia X Y Z planeja visitar clientes potenciais até que uma venda substancial seja feita. Cada apresentação de venda custa \ 1000 . A viagem até o novo cliente e a montagem de nova apresentação custaméçã$4000 . (a) Qual é o custo esperado para se fazer uma venda, se a probabilidade de uma venda ser feita depois de uma apresentação é 0,10 ? Solução: 37000 (b) Se o lucro esperado de cada venda é de \(\\) 15.000, as viagens devem ser realizadas?
Solução: Desde que 37000>15000, as viagens não devem ser realizadas
(c) Se o orçamento para propaganda é de apenas \ 100.000$, qual a probabilidade de que esta quantia seja gasta sem que se receba um pedido?
\text { Solução: }=1-\sum_{x=1}^{25}(0.90)^{x-1} 0.10çã

Passo 1

O enunciado diz que a companhia visita potenciais clientes até fazer a primeira venda. Cada apresentação custa $1000 e cada viagem com montagem de nova apresentação custa $4000. A probabilidade de venda em cada apresentação é 0,10. Queremos:
a) custo esperado até a primeira venda,
b) decidir se vale a pena realizar as viagens sabendo que o lucro médio por venda é $15000,
c) com orçamento de $100000, a probabilidade desse valor ser gasto sem obter nenhuma venda.
Para resolver usamos a distribuição geométrica e valor esperado.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X = número de apresentações até a primeira venda. Como cada tentativa é independente e tem probabilidade p=0,10 de sucesso, X segue a distribuição geométrica no sentido de contar tentativas até sucesso, com
P(X=x) = (1-p)^{x-1}\,p,\quad x=1,2,\dots
e valor esperado
E[X] = \frac{1}{p}.

Passo 3

Como p=0,10, temos
E[X] = \frac{1}{0,10} = 10.

Passo 4

Precisamos relacionar o custo total C com X. Se a venda ocorrer na primeira apresentação x=1, paga-se apenas a apresentação inicial de $1000. A partir da segunda, cada visita extra exige viagem e montagem de apresentação de $4000. Assim
C = 1000 + 4000\,(X-1).
Pelo teorema da esperança de uma combinação afim,
E[C] = 1000 + 4000\,(E[X] - 1) = 1000 + 4000\,(10 - 1) = 1000 + 36000 = 37000.

Passo 5

No item (b), o lucro médio por venda é $15000. Como o custo esperado de uma venda é $37000, o lucro esperado líquido seria
15000 - 37000 = -22000 < 0.
Portanto não vale a pena realizar as viagens.

Passo 6

No item (c), há orçamento de $100000. O custo até x visitas é
C(x) = 1000 + 4000\,(x-1).
Queremos a probabilidade de gastar todo esse valor sem obter venda, ou seja, de não ter sucesso até exceder o orçamento. Resolvendo
1000 + 4000\,(n-1) \le 100000 \quad\Longrightarrow\quad n \le 25.
Assim o orçamento permite até 25 apresentações. A probabilidade de não vender em nenhuma das 25 primeiras é
P(X > 25) = (1-p)^{25} = 0,90^{25},\nequivalente a
1 - \sum_{x=1}^{25} (0,90)^{x-1}\,0,10.

Resposta

(a) $37000
(b) Não devem ser realizadas
(c) 0,90^{25} ou 1 - \sum_{x=1}^{25}(0,90)^{x-1}0,10

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