(Sheldon Ross) O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a 3,5 . Qual é a probabilidade de que
(a) ocorram pelo menos 2 acidentes desse tipo no próximo mês?
Solução: 1-4.5 e^{-3.5}.
(b) ocorra no máximo 1 acidente no próximo mês?
Solução: 4.5 e^{-3.5}.
(c) Qual é o valor esperado, a variância e o desvio padrão da variável aleatória que representa o problema?
Solução: E(X)=\operatorname{Var}(X)=3,5.

Passo 1

O enunciado diz que o número de acidentes aéreos comerciais num mês segue uma distribuição de Poisson com média mensal igual a 3,5. Denotamos por X essa variável aleatória, isto é,
X \sim \text{Poisson}(\lambda),
onde \lambda = 3{,}5. Vamos usar a fórmula
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},
além das propriedades de soma de probabilidades para obter os itens (a), (b) e, em seguida, (c).

Passo 2

Queremos calcular
P(X\ge2).
Como é mais fácil usar o complementar, escrevemos
P(X\ge2) = 1 - P(X<2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)\bigr].
Pela fórmula da Poisson,
P(X=0) = \frac{3{,}5^0 e^{-3{,}5}}{0!} = e^{-3{,}5},
P(X=1) = \frac{3{,}5^1 e^{-3{,}5}}{1!} = 3{,}5\,e^{-3{,}5}.
Somando,
P(X=0)+P(X=1) = \bigl(1 + 3{,}5\bigr)e^{-3{,}5} = 4{,}5\,e^{-3{,}5}.
Logo,
P(X\ge2) = 1 - 4{,}5\,e^{-3{,}5}.

Passo 3

Agora calculamos
P(X\le1) = P(X=0) + P(X=1).
Já encontramos esses termos:
P(X=0)+P(X=1) = 4{,}5\,e^{-3{,}5}.
Portanto,
P(X\le1) = 4{,}5\,e^{-3{,}5}.

Passo 4

Para uma variável X\sim\text{Poisson}(\lambda) sabemos que
E(X) = \lambda,
\Var(X) = \lambda,
e o desvio padrão é
\sigma_X = \sqrt{\Var(X)} = \sqrt{\lambda}.
Substituindo \lambda = 3{,}5, obtemos
E(X) = 3{,}5,\quad \Var(X) = 3{,}5,\quad \sigma_X = \sqrt{3{,}5}.

Resposta

(a) 1 - 4{,}5\,e^{-3{,}5}.
(b) 4{,}5\,e^{-3{,}5}.
(c) E(X)=3{,}5,\\ \Var(X)=3{,}5,\\ \sigma_X=\sqrt{3{,}5}.

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