(Sheldon Ross) Um estudante se prepara para fazer uma importante prova oral e está preocupado com a possibilidade de estar em um dia “bom” ou em um dia “ruim”. Ele pensa que se estiver em um dia bom, então cada um de seus examinadores irá aprová-lo, independentemente uns dos outros, com probabilidade 0,8 . Por outro lado, se estiver em um dia ruim, essa probabilidade cairá para 0,4 . Suponha que o estudante seja aprovado caso a maioria dos examinadores o aprove. Se o estudante pensa que tem duas vezes mais chance de estar em um dia ruim do que em um dia bom, é melhor que ele faça a prova com 3 ou 5 examinadores?

Passo 1

O enunciado diz que há duas situações para o dia da prova: “bom” com probabilidade de aprovação individual p=0,8 e “ruim” com p=0,4. A priori ele acha que
P(\text{bom}) = \tfrac{1}{3}, \quad P(\text{ruim}) = \tfrac{2}{3}.
Ele faz a prova com n examinadores independentes e passa se obtiver mais da metade de aprovações. Usaremos a fórmula da probabilidade total:
P(\text{passar}) = P(\text{bom})\,P(\text{passar}\mid \text{bom}) + P(\text{ruim})\,P(\text{passar}\mid \text{ruim}).

Passo 2

Para n=3 a maioria significa obter pelo menos 2 aprovações. Logo, com dia bom (probabilidade individual 0,8)
P(\text{passar}\mid \text{bom},\,n=3) = \sum_{k=2}^{3} \binom{3}{k} (0.8)^{k}(0.2)^{3-k} = 3\cdot0.8^2\cdot0.2 + 0.8^3 = 0.896,
e com dia ruim (probabilidade individual 0,4)
P(\text{passar}\mid \text{ruim},\,n=3) = \sum_{k=2}^{3} \binom{3}{k} (0.4)^{k}(0.6)^{3-k} = 3\cdot0.4^2\cdot0.6 + 0.4^3 = 0.352.

Passo 3

Aplicando a probabilidade total para n=3:
P_3 = \tfrac{1}{3}\cdot0.896 + \tfrac{2}{3}\cdot0.352 = \frac{0.896 + 0.704}{3} = 0.5333\ldots

Passo 4

Para n=5 a maioria é obter pelo menos 3 aprovações. Com dia bom:
P(\text{passar}\mid \text{bom},\,n=5) = \sum_{k=3}^{5} \binom{5}{k} (0.8)^{k}(0.2)^{5-k} = 10\cdot0.8^3\cdot0.2^2 + 5\cdot0.8^4\cdot0.2 + 0.8^5 = 0.94208.
Com dia ruim:
P(\text{passar}\mid \text{ruim},\,n=5) = \sum_{k=3}^{5} \binom{5}{k} (0.4)^{k}(0.6)^{5-k} = 10\cdot0.4^3\cdot0.6^2 + 5\cdot0.4^4\cdot0.6 + 0.4^5 = 0.31744.

Passo 5

Aplicando a probabilidade total para n=5:
P_5 = \tfrac{1}{3}\cdot0.94208 + \tfrac{2}{3}\cdot0.31744 = \frac{0.94208 + 0.63488}{3} = 0.52565\ldots

Passo 6

Comparando P_3 \approx 0.5333 e P_5 \approx 0.5257, vemos que a probabilidade de aprovação é ligeiramente maior com 3 examinadores.

Resposta

Fazer a prova com 3 examinadores.

Exercícios relacionados