(Sheldon Ross) Um canal de comunicações transmite os algarismos 0 e 1. Entretanto, devido a interferência estática, um algarismo transmitido tem probabilidade 0,2 de ser incorretamente recebido. Suponha que queiramos transmitir uma mensagem importante formada por um único algarismo binário. Para reduzir as chances de erro, transmitimos 00000 em vez de 0 e 11111 em vez de 1 . Se o receptor da mensagem usa um decodificador de “maioria”, qual é a probabilidade de que a mensagem não esteja correta quando decodificada?
Solução: \binom{5}{3} 0,2^{3} 0,8^{2}+\binom{5}{4} 0,2^{4} 0,8+0,2^{5}.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido. Temos um canal que transmite cada bit com probabilidade de erro \,0,2. Para proteger a informação, em vez de enviar um único bit \,0 ou \,1, enviamos cinco cópias iguais (00000 ou 11111) e, no receptor, usamos um decodificador de maioria: o valor que aparecer em pelo menos três das cinco posições é o decodificado. O conteúdo aqui é distribuição binomial e probabilidade de evento complementar.

Passo 2

Modelagem probabilística. Suponha que enviamos 0 (caso de enviar 1 é análogo por simetria). Cada uma das cinco cópias é invertida (erro) com probabilidade \,0,2, independentemente. Seja X o número de erros entre as cinco cópias. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=5,p=0,2\bigr),
isto é,
\Pr(X=k)=\binom{5}{k}(0,2)^{k}(0,8)^{5-k},\quad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 3

Identificação do evento de decodificação incorreta. O receptor erra a mensagem se, ao receber, pelo menos 3 dos 5 bits tiverem sido invertidos, pois a maioria então é o bit oposto ao original. Assim, o evento de erro é
\{X\ge3\}.

Passo 4

Cálculo da probabilidade de erro. Usando a fórmula da binomial para a cauda superior, temos
\Pr(\text{erro})=\Pr(X\ge3) =\sum_{k=3}^{5}\binom{5}{k}(0,2)^{k}(0,8)^{5-k}.

Passo 5

Expansão em termos individuais. Escrevendo cada termo,
\Pr(\text{erro}) =\binom{5}{3}(0,2)^{3}(0,8)^{2} +\binom{5}{4}(0,2)^{4}(0,8)^{1} +\binom{5}{5}(0,2)^{5}(0,8)^{0}.

Resposta

\binom{5}{3}(0,2)^{3}(0,8)^{2} +\binom{5}{4}(0,2)^{4}(0,8) +(0,2)^{5}.

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