(Sheldon Ross) Pessoas entram em um cassino a uma taxa de 1 a cada 2 minutos.
Qual é a probabilidade de que ninguém entre 12:00 e 12:05?

Passo 1

O enunciado diz que as chegadas de pessoas no cassino seguem um processo de Poisson com taxa média de 1 pessoa a cada 2 minutos. Queremos calcular a probabilidade de não entrar ninguém entre as 12:00 e as 12:05.

Passo 2

Em um processo de Poisson com taxa \lambda (em chegadas por minuto), o número de chegadas N(t) num intervalo de duração t minutos é uma variável \mathrm{Poisson}(\lambda t). Isso decorre da independência e estacionariedade dos incrementos, bem como dos intervalos de chegada exponenciais.

Passo 3

A taxa dada é de 1 chegada a cada 2 minutos, isto é,
\lambda = \frac{1}{2}\text{ chegadas por minuto.}
O intervalo de interesse é t=5 minutos, então o parâmetro médio do número de chegadas é
\lambda t = \frac{1}{2}\times 5 = 2{,}5.

Passo 4

A probabilidade de não ocorrer nenhuma chegada em t minutos é
\Pr\bigl(N(t)=0\bigr) = e^{-\lambda t}\,\frac{(\lambda t)^{0}}{0!} = e^{-2{,}5}.

Resposta

A probabilidade de não entrar ninguém entre 12:00 e 12:05 é
e^{-2{,}5}\approx 0{,}0821.

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