A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
x^216-(y-1)^29=1
Encontre a área da regiâo limitada pelo ramo direito da hiperbóle e o eixo y com 0 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^216-(y-1)^29=1
e pede a área da região entre o ramo direito (isto é, x>=0), o eixo y e as retas y=0 e y=2. Para isso vamos isolar x em função de y e integrar em y de 0 a 2.

Passo 2

Da equação
x^216-(y-1)^29=1
isolamos x (ramo direito, x>=0):
x = 4,raiz1+(y-1)^29

Passo 3

A área pedida é
integraly=0^2 x,dy =integral0^24,raiz1+(y-1)^29;dy

Passo 4

Façamos a troca de variável t=y-1. Então quando y vai de 0 a 2, temos t de -1 a 1, e
raiz1+(y-1)^29 =raiz1+t^29 =13raiz9+t^2
Como a função raiz9+t^2 é par,
integral-1^1raiz9+t^2;dt =2integral0^1raiz9+t^2;dt
Logo
integral0^24,raiz1+(y-1)^29;dy =4integral-1^113raiz9+t^2;dt =43cdot2integral0^1raiz9+t^2;dt =83integral0^1raiz9+t^2;dt

Passo 5

Usamos a primitiva
integralraiz9+t^2;dt =12l(traiz9+t^2+9lnl(t+raiz9+t^2r)r)
Assim
integral0^1raiz9+t^2;dt =12l(raiz10+9ln(1+raiz10)-9ln(3)r) =12l(raiz10+9ln!1+raiz103r)

Passo 6

Substituindo em 83integral0^1raiz9+t^2,dt, obtemos
83cdot12l(raiz10+9ln!1+raiz103r) =43,raiz10+12ln!1+raiz103

Resposta

boxed4raiz103+12ln!l(1+raiz103r)

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