A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
Escreva o comprimento do ramo direito da hipérbole com
usando a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do ramo direito (isto é, com
) da hipérbole
para
variando de
até
.
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva em coordenadas cartesianas, usando a fórmula
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva em coordenadas cartesianas, usando a fórmula
Passo 2
Isolamos
(ramo direito) como função de
. Da equação da hipérbole:
Passo 3
Calculamos a derivada
. Como
temos
Passo 4
Montamos o integrando da fórmula de comprimento:
Logo
Passo 5
Substituindo na integral de comprimento com
e
, obtemos