A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
x^216-(y-1)^29=1
Escreva o comprimento do ramo direito da hipérbole com -2 <= y <= 2 usando a integral definida.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do ramo direito (isto é, com x>=0) da hipérbole
x^216-(y-1)^29=1
para y variando de -2 até 2.
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva em coordenadas cartesianas, usando a fórmula
L=integraly1^y2raiz1+l(x'(y)r)^2;dy

Passo 2

Isolamos x (ramo direito) como função de y. Da equação da hipérbole:
x^2=16l(1+(y-1)^29r) Longrightarrow x(y)=43raiz(y-1)^2+9

Passo 3

Calculamos a derivada x'(y). Como
x(y)=43l((y-1)^2+9r)^1/2,
temos
x'(y) =43cdot12l((y-1)^2+9r)^-1/2cdot2(y-1) =43,(y-1)raiz(y-1)^2+9

Passo 4

Montamos o integrando da fórmula de comprimento:
1+l(x'(y)r)^2 =1+169,(y-1)^2(y-1)^2+9 =(y-1)^2+9+tfrac169(y-1)^2(y-1)^2+9 =25(y-1)^2+819l((y-1)^2+9r)
Logo
raiz1+l(x'(y)r)^2 =13raiz25(y-1)^2+81(y-1)^2+9

Passo 5

Substituindo na integral de comprimento com y1=-2 e y2=2, obtemos
L =integral-2^2raiz1+l(x'(y)r)^2;dy =integral-2^213raiz25(y-1)^2+81(y-1)^2+9;dy

Resposta

L =13integral-2^2raiz25(y-1)^2+81(y-1)^2+9;dy

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