Uma hipérbole tem um de seus vértices em
e as equações de suas assíntotas são
e
. Determine a equação da hipérbole.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma hipérbole com um vértice em
e cujas assíntotas são as retas
e
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, em coordenadas com centro na interseção das assíntotas, a hipérbole de eixos alinhados tem equação
cujos vértices são
e cujas assíntotas são
Vamos precisar então (i) encontrar o centro das assíntotas, (ii) extrair o coeficiente angular
das assíntotas, (iii) usar o vértice em
para achar
, e (iv) determinar
.
Passo 2
Para achar o centro
Somando as duas equações, obtemos . Substituindo em
dá
. Portanto
Passo 3
Escrevendo as assíntotas em forma
, temos
Comparando com
, vemos que
Passo 4
O enunciado dá um vértice em
. Como os vértices de
são
, concluímos que
Passo 5
Com
e
, ficamos com
Passo 6
Substituindo
e
na forma canônica da hipérbole, obtemos
ou seja