Uma hipérbole tem um de seus vértices em A(3,0) e as equações de suas assíntotas são 2x-3y=0 e 2x+3y=0. Determine a equação da hipérbole.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole com um vértice em A(3,0) e cujas assíntotas são as retas
2x - 3y = 0
e
2x + 3y = 0
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, em coordenadas com centro na interseção das assíntotas, a hipérbole de eixos alinhados tem equação
x^2a^2 - y^2b^2 = 1,
cujos vértices são (pm a,0) e cujas assíntotas são
y = pm ba,x
Vamos precisar então (i) encontrar o centro das assíntotas, (ii) extrair o coeficiente angular ba das assíntotas, (iii) usar o vértice em (3,0) para achar a, e (iv) determinar b.

Passo 2

Para achar o centro
Somando as duas equações, obtemos . Substituindo em . Portanto

Passo 3

Escrevendo as assíntotas em forma y = m x, temos
2x - 3y = 0 ;Longrightarrow; y = 23,x, 2x + 3y = 0 ;Longrightarrow; y = -23,x
Comparando com y = pm ba,x, vemos que
ba = 23

Passo 4

O enunciado dá um vértice em A(3,0). Como os vértices de x^2a^2-y^2b^2=1 são (pm a,0), concluímos que
a = 3

Passo 5

Com a=3 e ba=23, ficamos com
b = acdot23 = 3cdot23 = 2

Passo 6

Substituindo a=3 e b=2 na forma canônica da hipérbole, obtemos
x^23^2 ;-;y^22^2 = 1,
ou seja
x^29 - y^24 = 1

Resposta

x^29 - y^24 = 1

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