Identifique e esboce a curva dada pela equação.
y^2-4y-2x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
y^2 - 4y - 2x + 2 = 0
Este é um problema de classificação de cônicas: vamos completar o quadrado em y para descobrir o tipo de curva e colocá-la na forma padrão de uma parábola.

Passo 2

Começamos agrupando os termos em y e completando o quadrado:
y^2 - 4y - 2x + 2 = 0 Longrightarrow (y^2 - 4y + 4) - 4 - 2x + 2 = 0
Ou seja,
(y-2)^2 - 2x - 2 = 0

Passo 3

Isolando x obtemos a forma padrão:
(y-2)^2 = 2,(x + 1)
Esta é a equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, porque temos (y-2)^2 em função de (x+1).

Passo 4

Identificamos os elementos principais da parábola ,(y-2)^2=2(x+1):
4p = 2 Longrightarrow p = tfrac12
  • Vértice: l(-1,2r).
  • Eixo de simetria: reta y=2.
  • Foco: deslocado p para dentro da parábola, isto é
    l(-1 + tfrac12,,2r)=l(-tfrac12,2r)
  • Diretriz: reta vertical a distância p do vértice para fora, isto é
    x = -1 - tfrac12 = -tfrac32

Passo 5

Para esboçar, basta marcar o vértice e alguns pontos simétricos em relação ao eixo y=2. Por exemplo, quando y-2=pm2 (isto é, y=0 ou y=4), temos
2(x+1) = (y-2)^2 = 4 Longrightarrow x+1 = 2 Longrightarrow x = 1
Portanto passa pelos pontos (1,0) e (1,4). A parábola abre para a direita, com vértice em (-1,2) e foco em l(-tfrac12,2r).
Esboço qualitativo:
bul<=t Vértice (-1,2) bul<=t Eixo horizontal y=2 bul<=t Abertura para a direita
bul<=t Pontos (1,0), (1,4)

Resposta

A curva é uma parábola horizontal, de equação em forma padrão
(y-2)^2 = 2,(x+1),
com vértice em (-1,2), foco em l(-tfrac12,2r) e diretriz x=-tfrac32. Esboça-se abrindo para a direita, passando por (1,0) e (1,4).

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